Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{M C}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{MC} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}). Ou seja, encontrar números (x,y) tais que
\overrightarrow{MC}=x\,\overrightarrow{AF}+y\,\overrightarrow{AB}.
Informações relevantes extraídas do enunciado e da figura (peguei estes dados da imagem):
  • A figura mostra uma malha regular de paralelogramos gerada pelos vetores \overrightarrow{AF} (direção “horizontal” na malha) e \overrightarrow{AB} (direção “vertical” na malha).
  • Os pontos na mesma linha horizontal sucessiva a partir de A são, em ordem: A,\;F,\;H,\;J,\;D. Assim cada passo para a direita na malha corresponde a adicionar \overrightarrow{AF}.
  • As linhas paralelas a \overrightarrow{AB} formam as “fileiras” verticais: a partir de A subindo há K (uma unidade), depois B (duas unidades). Analogamente, acima de F estão L e E; acima de H estão M e G; acima de J estão N e I; acima de D estão P e C.
  • Com base nisso, cada ponto pode ser indexado por duas coordenadas inteiras (i,j) relativas à base (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}), com i contando quantos \overrightarrow{AF} a partir de A e j contando quantos \overrightarrow{AB} a partir de A.

Passo 2

Entendendo o que significa representar um vetor numa base:
  • Se uma base é (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}), dizer que um vetor \overrightarrow{w} tem coordenadas (x,y) nessa base significa
\overrightarrow{w}=x\,\overrightarrow{u}+y\,\overrightarrow{v}.
  • Aqui a base é (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}). Tomando A como origem de referência para posições dos pontos, o vetor posição de um ponto X é \overrightarrow{AX}=a\,\overrightarrow{AF}+b\,\overrightarrow{AB} quando X está a a passos na direção de \overrightarrow{AF} e a b passos na direção de \overrightarrow{AB}.
  • Para obter um vetor entre dois pontos X e Y utiliza-se a diferença das suas posições:
\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{AY}-\overrightarrow{AX}.
Isso é crucial: basta saber as coordenadas de X e Y em relação à mesma origem (aqui A).

Passo 3

Determinar as coordenadas (em relação à base (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB})) dos pontos M e C a partir da malha (peguei essas posições da imagem):
  • Observando a figura, a posição de M corresponde a estar duas colunas à direita de A e uma linha acima de A. Logo
\overrightarrow{AM}=2\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB},
isto é, M tem coordenadas (2,1) na base (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}).
  • O ponto C está quatro colunas à direita de A e duas linhas acima de A. Logo
\overrightarrow{AC}=4\,\overrightarrow{AF}+2\,\overrightarrow{AB},
isto é, C tem coordenadas (4,2) na mesma base.

Passo 4

Calcular \overrightarrow{MC} usando a diferença de vetores posição:
  • Pela fórmula da Passo 2,
\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}.
  • Substituindo as coordenadas encontradas,
\overrightarrow{MC}=(4\,\overrightarrow{AF}+2\,\overrightarrow{AB})-(2\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}).
  • Agrupando termos semelhantes:
\overrightarrow{MC}=(4-2)\,\overrightarrow{AF}+(2-1)\,\overrightarrow{AB}=2\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}.

Passo 5

Interpretação final e dica rápida para a prova:
  • A coordenada (2,1) significa que, partindo de M, para chegar a C é necessário ir 2 vezes na direção de \overrightarrow{AF} (dois passos para a direita na malha) e 1 vez na direção de \overrightarrow{AB} (um passo para cima na malha).
  • Dica prática: em malhas formadas por vetores geradores como aqui, identifique colunas e linhas inteiras contadas a partir de A; as diferenças de índices dão diretamente as coordenadas do vetor entre pontos.

Resposta

(2,1)

Exercícios relacionados