Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{M J}
Passo 1
O que o problema pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{MJ} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}). Ou seja, encontrar escalares x e y tais que
A figura mostra uma malha de paralelogramos organizada em 5 colunas e 3 linhas.
Os pontos na mesma linha inferior são, da esquerda para a direita: A, F, H, J, D.
Os pontos na mesma linha do meio são, da esquerda para a direita: K, L, M, N, P.
Os pontos na linha superior são, da esquerda para a direita: B, E, G, I, C.
Portanto, na notação “coluna,linha” (com coluna contando a partir de A para a direita e linha contando a partir da base para cima):
A tem índice (0,0).
F tem índice (1,0).
M tem índice (2,1).
J tem índice (3,0).
A base pedida usa \overrightarrow{AF} como “um passo para a direita” (ir uma coluna à frente na mesma linha) e \overrightarrow{AB} como “um passo para cima” (ir uma linha para cima na mesma coluna). (Estas informações também são lidas da figura.)
Passo 2
Definição que vamos usar (passo-a-passo):
Se u=\overrightarrow{AF} e v=\overrightarrow{AB}, dizer que \overrightarrow{X}=(a,b)_{\mathcal{B}} significa
\overrightarrow{X}=a\,u+b\,v.
Para um ponto qualquer P na malha com índices (i,j) (i colunas à direita de A, j linhas acima de A), tem-se a representação
Explicação didática: cada movimento de uma coluna para a direita soma uma cópia de \overrightarrow{AF}; cada movimento de uma linha para cima soma uma cópia de \overrightarrow{AB}. Isso é exatamente a decomposição em relação à base (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}).
Passo 3
Aplicar a ideia aos pontos M e J:
Pela leitura da figura, M está na coluna 2 e linha 1. Logo
Interpretação final e checagem rápida (intuitiva): partir de M e seguir um passo para a direita (+\overrightarrow{AF}) e um passo para baixo (que é -\overrightarrow{AB}) chega em J. Isso confirma a decomposição encontrada.