Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{M J}

Passo 1

O que o problema pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{MJ} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}). Ou seja, encontrar escalares x e y tais que
\overrightarrow{MJ}=x\,\overrightarrow{AF}+y\,\overrightarrow{AB}.
Informações fornecidas (extraídas da figura):
  • A figura mostra uma malha de paralelogramos organizada em 5 colunas e 3 linhas.
  • Os pontos na mesma linha inferior são, da esquerda para a direita: A, F, H, J, D.
  • Os pontos na mesma linha do meio são, da esquerda para a direita: K, L, M, N, P.
  • Os pontos na linha superior são, da esquerda para a direita: B, E, G, I, C.
  • Portanto, na notação “coluna,linha” (com coluna contando a partir de A para a direita e linha contando a partir da base para cima):
    • A tem índice (0,0).
    • F tem índice (1,0).
    • M tem índice (2,1).
    • J tem índice (3,0).
  • A base pedida usa \overrightarrow{AF} como “um passo para a direita” (ir uma coluna à frente na mesma linha) e \overrightarrow{AB} como “um passo para cima” (ir uma linha para cima na mesma coluna). (Estas informações também são lidas da figura.)

Passo 2

Definição que vamos usar (passo-a-passo):
  • Se u=\overrightarrow{AF} e v=\overrightarrow{AB}, dizer que \overrightarrow{X}=(a,b)_{\mathcal{B}} significa
\overrightarrow{X}=a\,u+b\,v.
  • Para um ponto qualquer P na malha com índices (i,j) (i colunas à direita de A, j linhas acima de A), tem-se a representação
\overrightarrow{AP}=i\,\overrightarrow{AF}+j\,\overrightarrow{AB}.
Explicação didática: cada movimento de uma coluna para a direita soma uma cópia de \overrightarrow{AF}; cada movimento de uma linha para cima soma uma cópia de \overrightarrow{AB}. Isso é exatamente a decomposição em relação à base (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}).

Passo 3

Aplicar a ideia aos pontos M e J:
  • Pela leitura da figura, M está na coluna 2 e linha 1. Logo
\overrightarrow{AM}=2\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}.
  • Pela leitura da figura, J está na coluna 3 e linha 0. Logo
\overrightarrow{AJ}=3\,\overrightarrow{AF}+0\,\overrightarrow{AB}=3\,\overrightarrow{AF}.

Passo 4

Calcular \overrightarrow{MJ} usando diferença de vetores (regra: \overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AM}):
\overrightarrow{MJ}=\bigl(3\,\overrightarrow{AF}\bigr)-\bigl(2\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}\bigr).
Fazendo as contas termo a termo:
\overrightarrow{MJ}=(3-2)\,\overrightarrow{AF}+(0-1)\,\overrightarrow{AB}=1\cdot\overrightarrow{AF}-1\cdot\overrightarrow{AB}.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida (intuitiva): partir de M e seguir um passo para a direita ( +\overrightarrow{AF}) e um passo para baixo (que é -\overrightarrow{AB}) chega em J. Isso confirma a decomposição encontrada.

Resposta

(1,-1)

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