Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{M D}

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{M D} com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}).”
Informações relevantes (peguei estes dados da imagem):
  • A base fornecida é \mathcal{B}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}).
  • A figura mostra uma malha de paralelogramos com 3 fileiras (inferior, média, superior) e 5 colunas de vértices.
  • Na fileira inferior, da esquerda para a direita, aparecem os pontos A, F, H, J, D (ou seja, A F H J D são segmentos consecutivos iguais ao vetor \overrightarrow{A F}).
  • Na fileira do meio, da esquerda para a direita, aparecem K, L, M, N, P.
  • Na fileira superior, da esquerda para a direita, aparecem B, E, G, I, C.
  • Assim, cada movimento horizontal de uma coluna para a próxima corresponde a somar \overrightarrow{A F}; cada subida de uma fileira para a de cima corresponde a somar \overrightarrow{A B}.
O que se pede, então, é achar escalares x,y tais que
\overrightarrow{M D}=x\,\overrightarrow{A F}+y\,\overrightarrow{A B}.

Passo 2

Definição e ideia básica (mini-aula): coordenadas de um vetor numa base.
Se \mathcal{B}=(\vec{u},\vec{v}) é uma base de um plano, qualquer vetor \vec{w} pode ser escrito de forma única como
\vec{w}=x\vec{u}+y\vec{v},
onde os escalares x,y são as coordenadas de \vec{w} na base \mathcal{B}. Neste problema tomamos
\vec{u}=\overrightarrow{A F},\qquad \vec{v}=\overrightarrow{A B}.
Uma forma prática para vetores ligados a uma malha regular: representar cada ponto pelo número de passos horizontais (vetor \vec{u}) e verticais (vetor \vec{v}) a partir de A.

Passo 3

Determinar as coordenadas (em \mathcal{B}) do ponto D.
Contando na fileira inferior: A F (1 passo), F H (2º), H J (3º), J D (4º). Logo, o vetor posição \overrightarrow{A D} equivale a somar \overrightarrow{A F} quatro vezes e nenhuma vez \overrightarrow{A B}. Em notação:
\overrightarrow{A D}=4\,\overrightarrow{A F}+0\,\overrightarrow{A B}.
Assim, as coordenadas de D (como vetor posição a partir de A) na base \mathcal{B} são (4,0).

Passo 4

Determinar as coordenadas (em \mathcal{B}) do ponto M.
Na figura, M está na fileira do meio (uma subida a partir da fileira inferior) e na terceira coluna da esquerda para a direita (dois passos \overrightarrow{A F} a partir de A): isto é, mover-se de A dois \overrightarrow{A F} para a direita e um \overrightarrow{A B} para cima chega a M. Portanto
\overrightarrow{A M}=2\,\overrightarrow{A F}+1\,\overrightarrow{A B}.
As coordenadas de M na base \mathcal{B} são (2,1).

Passo 5

Expressar \overrightarrow{M D} a partir das coordenadas de D e M.
Propriedade usada (mini-aula): Se \overrightarrow{A P} e \overrightarrow{A Q} são vetores posição de P e Q relativos a A, então
\overrightarrow{P Q}=\overrightarrow{A Q}-\overrightarrow{A P}.
Aplicando ao caso P=M e Q=D:
\overrightarrow{M D}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A M}.
Substituindo as coordenadas encontradas:
\overrightarrow{M D}=(4\,\overrightarrow{A F}+0\,\overrightarrow{A B})-(2\,\overrightarrow{A F}+1\,\overrightarrow{A B}).
Fazendo a subtração componente a componente:
\overrightarrow{M D}=(4-2)\,\overrightarrow{A F}+(0-1)\,\overrightarrow{A B}=2\,\overrightarrow{A F}-1\,\overrightarrow{A B}.

Passo 6

Interpretação final (mini-dica): a expressão 2\,\overrightarrow{A F}-1\,\overrightarrow{A B} significa que, a partir de M, para chegar a D anda-se dois passos no sentido de \overrightarrow{A F} e um passo no sentido oposto a \overrightarrow{A B}. Isso corresponde exatamente às coordenadas do vetor \overrightarrow{M D} na base \mathcal{B}.

Resposta

\,(2,-1)\,

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