Exercício 1. Sejam A, B, C, D e E, pontos. Prove que:
\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A E} \Longrightarrow \overrightarrow{E C}=\overrightarrow{A B}

Passo 1

O enunciado dá a igualdade vetorial
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AE}
e pede para provar que
\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AB}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há cinco pontos A,B,C,D,E no plano.
  • Está dada a igualdade vetorial \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AE}.
  • Precisa-se deduzir uma outra igualdade vetorial envolvendo esses pontos.

Passo 2

Definições e propriedades de vetores que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Para dois pontos X e Y, \overrightarrow{XY} é o vetor que vai de X a Y.
  • Regra do triângulo (regra da soma de vetores): se seguirmos os lados de um triângulo na ordem X\to Y e depois Y\to Z, o resultado é o lado X\to Z. Em símbolos:
\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}.
Isto é só dizer que ir de X a Y e depois de Y a Z é o mesmo que ir diretamente de X a Z.
  • Propriedade de cancelamento: se \mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{w} então \mathbf{v}=\mathbf{w}. Isso corresponde a subtrair o mesmo vetor dos dois lados; é permitido porque vetores formam um espaço vetorial onde a soma tem inverso.

Passo 3

Aplicando a regra do triângulo ao caminho A\to B\to C obtemos:
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.
Explicando: ir de A a B e depois de B a C é ir de A a C.

Passo 4

Aplicando a mesma regra ao caminho A\to E\to C obtemos:
\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}.
Explicando: ir de A a E e depois de E a C é ir de A a C também.

Passo 5

Agora igualamos as duas expressões para \overrightarrow{AC}. Temos:
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}.
Usando a hipótese do enunciado \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AE}, substituímos na igualdade acima:
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{EC}.

Passo 6

Aplicamos a propriedade de cancelamento de vetores: como ambos os lados têm o mesmo termo \overrightarrow{BC} somado, podemos “subtrair” \overrightarrow{BC} dos dois lados. Formalmente, existe o vetor oposto -\overrightarrow{BC}, então somando -\overrightarrow{BC} em ambos os lados obtemos
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EC}.
Isto é exatamente o que queríamos provar (apenas escrevemos na ordem inversa).

Passo 7

Interpretação geométrica rápida (sintética): a igualdade \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AE} diz que os segmentos BC e AE têm mesma direção, sentido e comprimento; levando isso ao fechamento dos dois caminhos A\to B\to C e A\to E\to C e cancelando o trecho comum, concluímos que AB e EC também coincidem como vetores.

Resposta

\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AB}

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