Exercício 1. Sejam A, B, C, D e E, pontos. Prove que: \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A E} \Longrightarrow \overrightarrow{E C}=\overrightarrow{A B}
Passo 1
O enunciado dá a igualdade vetorial
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AE}
e pede para provar que
\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AB}.
Informações relevantes fornecidas:
Há cinco pontos A,B,C,D,E no plano.
Está dada a igualdade vetorial \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AE}.
Precisa-se deduzir uma outra igualdade vetorial envolvendo esses pontos.
Passo 2
Definições e propriedades de vetores que vamos usar (explicadas devagarinho):
Para dois pontos X e Y, \overrightarrow{XY} é o vetor que vai de X a Y.
Regra do triângulo (regra da soma de vetores): se seguirmos os lados de um triângulo na ordem X\to Y e depois Y\to Z, o resultado é o lado X\to Z. Em símbolos:
Isto é só dizer que ir de X a Y e depois de Y a Z é o mesmo que ir diretamente de X a Z.
Propriedade de cancelamento: se \mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{w} então \mathbf{v}=\mathbf{w}. Isso corresponde a subtrair o mesmo vetor dos dois lados; é permitido porque vetores formam um espaço vetorial onde a soma tem inverso.
Passo 3
Aplicando a regra do triângulo ao caminho A\to B\to C obtemos:
Aplicamos a propriedade de cancelamento de vetores: como ambos os lados têm o mesmo termo \overrightarrow{BC} somado, podemos “subtrair” \overrightarrow{BC} dos dois lados. Formalmente, existe o vetor oposto -\overrightarrow{BC}, então somando -\overrightarrow{BC} em ambos os lados obtemos
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EC}.
Isto é exatamente o que queríamos provar (apenas escrevemos na ordem inversa).
Passo 7
Interpretação geométrica rápida (sintética): a igualdade \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AE} diz que os segmentos BC e AE têm mesma direção, sentido e comprimento; levando isso ao fechamento dos dois caminhos A\to B\to C e A\to E\to C e cancelando o trecho comum, concluímos que AB e EC também coincidem como vetores.