Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{\overrightarrow{A K}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{AK} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}). Ou seja, achar escalares x e y tais que
\overrightarrow{AK}=x\,\overrightarrow{AF}+y\,\overrightarrow{AB}.
Informações relevantes observadas na figura (peguei estes fatos da imagem):
  • Os pontos A,F,H,J,D estão numa mesma reta (movimento na "direção \overrightarrow{AF}").
  • Os pontos A,K,B estão numa mesma reta (movimento na "direção \overrightarrow{AB}").
  • Na coluna vertical da esquerda há três pontos igualmente espaçados: A (embaixo), K (meio) e B (em cima). Portanto \overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB} e \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KB}=2\,\overrightarrow{AK}.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa escrever as coordenadas de um vetor numa base. Dados dois vetores independentes \overrightarrow{u_1} e \overrightarrow{u_2} que formam uma base, qualquer vetor \overrightarrow{v} pode ser escrito de forma única como combinação linear
\overrightarrow{v}=x\,\overrightarrow{u_1}+y\,\overrightarrow{u_2},
e os números x e y são as coordenadas de \overrightarrow{v} na base (\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}).
No nosso caso \overrightarrow{u_1}=\overrightarrow{AF} e \overrightarrow{u_2}=\overrightarrow{AB}. Então procuramos x,y tais que
\overrightarrow{AK}=x\,\overrightarrow{AF}+y\,\overrightarrow{AB}.

Passo 3

Observar a posição de K em relação a A e F: K está exatamente na mesma coluna de A (mesma linha de deslocamento na direção de \overrightarrow{AB}), ou seja, ao sair de A até K não há deslocamento na direção \overrightarrow{AF}. Isso significa que o componente na direção \overrightarrow{AF} é zero. Portanto
x=0.
(Uma forma prática de ver isso: \overrightarrow{AF} liga pontos ao longo da linha A\!-\!F\!-\!H\!\ldots; como K não se desloca nessa direção quando vamos de A a K, não há componente dessa direção.)

Passo 4

Agora achar y. Da observação da imagem (peguei este fato da imagem) temos \overrightarrow{AB}=2\,\overrightarrow{AK} porque K é o ponto do meio entre A e B. Isolando \overrightarrow{AK} obtemos
\overrightarrow{AK}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}.
Comparando com \overrightarrow{AK}=0\cdot\overrightarrow{AF}+y\,\overrightarrow{AB} conclui-se que
y=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Portanto a expressão do vetor e as coordenadas na base dada são
\overrightarrow{AK}=0\cdot\overrightarrow{AF}+\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}.

Resposta

\left(0,\tfrac{1}{2}\right)

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