Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{\overrightarrow{A K}}
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{AK} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}). Ou seja, achar escalares x e y tais que
Informações relevantes observadas na figura (peguei estes fatos da imagem):
Os pontos A,F,H,J,D estão numa mesma reta (movimento na "direção \overrightarrow{AF}").
Os pontos A,K,B estão numa mesma reta (movimento na "direção \overrightarrow{AB}").
Na coluna vertical da esquerda há três pontos igualmente espaçados: A (embaixo), K (meio) e B (em cima). Portanto \overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB} e \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KB}=2\,\overrightarrow{AK}.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa escrever as coordenadas de um vetor numa base. Dados dois vetores independentes \overrightarrow{u_1} e \overrightarrow{u_2} que formam uma base, qualquer vetor \overrightarrow{v} pode ser escrito de forma única como combinação linear
Observar a posição de K em relação a A e F: K está exatamente na mesma coluna de A (mesma linha de deslocamento na direção de \overrightarrow{AB}), ou seja, ao sair de A até K não há deslocamento na direção \overrightarrow{AF}. Isso significa que o componente na direção \overrightarrow{AF} é zero. Portanto
x=0.
(Uma forma prática de ver isso: \overrightarrow{AF} liga pontos ao longo da linha A\!-\!F\!-\!H\!\ldots; como K não se desloca nessa direção quando vamos de A a K, não há componente dessa direção.)
Passo 4
Agora achar y. Da observação da imagem (peguei este fato da imagem) temos \overrightarrow{AB}=2\,\overrightarrow{AK} porque K é o ponto do meio entre A e B. Isolando \overrightarrow{AK} obtemos