Exercício 6.
Determine a curva de interseção do plano z=0 com o paraboloide z=x^{2}+4 y^{2}. Esboce-a.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a curva de interseção entre duas superfícies e esboçá‑la. As informações dadas são:
  • O plano z=0.
  • O paraboloide z=x^{2}+4y^{2}.
O que se deve encontrar: o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente z=0 e z=x^{2}+4y^{2}, e depois interpretar/representar geometricamente essa interseção.

Passo 2

Para obter a interseção, igualamos as duas expressões para z. Assim, qualquer ponto de interseção deve satisfazer
x^{2}+4y^{2}=0.
Agora vamos analisar essa equação em (x,y).

Passo 3

Explicando por que essa equação só tem a solução trivial: para quaisquer números reais x e y vale x^{2}\ge 0 e 4y^{2}\ge 0. A soma de dois números não negativos só pode ser zero se ambos forem zero. Portanto
x^{2}=0\quad\text{e}\quad 4y^{2}=0,
o que implica
x=0\quad\text{e}\quad y=0.
Substituindo em z=x^{2}+4y^{2} vem z=0. Logo o único ponto comum é o ponto (0,0,0).

Passo 4

Interpretação geométrica didática (por que não aparece uma curva “real” como elipse, hipérbole etc.): para níveis fixos \,z=c>0, o paraboloide corta o plano horizontal z=c em uma elipse dada por
x^{2}+4y^{2}=c.
Escrevendo essa equação como
\frac{x^{2}}{c}+\frac{y^{2}}{c/4}=1
vemos que, para c>0, são elipses com semi‑eixos a=\sqrt{c} e b=\sqrt{c}/2. À medida que c\to 0^{+} essas elipses encolhem até colapsarem no ponto (0,0) no plano z=0. Portanto o caso c=0 é o caso degenerado: a “elipse” de nível reduz‑se a um único ponto.

Passo 5

Verificação de que o plano z=0 é tangente ao paraboloide no vértice: considere a função
F(x,y,z)=z-x^{2}-4y^{2}.
O vetor normal à superfície F=0 é \nabla F=(-2x,-8y,1). No ponto (0,0,0) tem‑se \nabla F(0,0,0)=(0,0,1), que é normal ao plano z=0. A equação do plano tangente na origem é, pela linearização, z=0. Assim o plano dado toca o paraboloide apenas no vértice — por isso a interseção é apenas o ponto de tangência.

Passo 6

Como esboçar (instruções simples para a prova): desenhe um “bowl” (paraboloide) aberto para cima com vértice na origem. O plano z=0 é o plano horizontal que passa pelo vértice; ele toca o fundo do bowl sem cortá‑lo em curva fechada — apenas um ponto de contato. Se quiser desenhar as curvas de nível, trace elipses horizontais para z=c>0 que vão diminuindo até se anular em (0,0,0).

Resposta

(0,0,0)

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