Exercício 6.
Determine a curva de interseção do plano
com o paraboloide
. Esboce-a.
Determine a curva de interseção do plano
Passo 1
O enunciado pede para determinar a curva de interseção entre duas superfícies e esboçá‑la. As informações dadas são:
- O plano
. - O paraboloide
.
O que se deve encontrar: o conjunto de pontos
que satisfazem simultaneamente
e
, e depois interpretar/representar geometricamente essa interseção.
Passo 2
Para obter a interseção, igualamos as duas expressões para
. Assim, qualquer ponto de interseção deve satisfazer
Agora vamos analisar essa equação em
.
Passo 3
Explicando por que essa equação só tem a solução trivial: para quaisquer números reais
e
vale
e
. A soma de dois números não negativos só pode ser zero se ambos forem zero. Portanto
o que implica
Substituindo em
vem
. Logo o único ponto comum é o ponto
.
Passo 4
Interpretação geométrica didática (por que não aparece uma curva “real” como elipse, hipérbole etc.): para níveis fixos
, o paraboloide corta o plano horizontal
em uma elipse dada por
Escrevendo essa equação como
vemos que, para
, são elipses com semi‑eixos
e
. À medida que
essas elipses encolhem até colapsarem no ponto
no plano
. Portanto o caso
é o caso degenerado: a “elipse” de nível reduz‑se a um único ponto.
Passo 5
Verificação de que o plano
é tangente ao paraboloide no vértice: considere a função
O vetor normal à superfície
é
. No ponto
tem‑se
, que é normal ao plano
. A equação do plano tangente na origem é, pela linearização,
. Assim o plano dado toca o paraboloide apenas no vértice — por isso a interseção é apenas o ponto de tangência.
Passo 6
Como esboçar (instruções simples para a prova): desenhe um “bowl” (paraboloide) aberto para cima com vértice na origem. O plano
é o plano horizontal que passa pelo vértice; ele toca o fundo do bowl sem cortá‑lo em curva fechada — apenas um ponto de contato. Se quiser desenhar as curvas de nível, trace elipses horizontais para
que vão diminuindo até se anular em
.