1. Princípio da superposição: se y1(x) e y2(x) são soluções de y^prime prime+P(x) y^prime+Q(x) y=R1(x) e de y^prime prime+P(x) y^prime+Q(x) y=R2(x) respectivamente, mostre que y(x)=y1(x)+y2(x) é solução de y^prime prime+P(x) y^prime+Q(x) y=R1(x)+R2(x).

Passo 1

O enunciado trata do princípio da superposição para a equação linear não homogênea
y'' + P(x),y' + Q(x),y = R(x)
Sabemos que y1(x) satisfaz
y1'' + P(x),y1' + Q(x),y1 = R1(x),
e que y2(x) satisfaz
y2'' + P(x),y2' + Q(x),y2 = R2(x)
O objetivo é mostrar que a soma
y(x) = y1(x) + y2(x)
é solução de
y'' + P(x),y' + Q(x),y = R1(x) + R2(x)
Vamos usar a linearidade das derivadas e do operador L[y]=y''+P(x)y'+Q(x)y.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y(x)=y1(x)+y2(x). Por linearidade do operador derivada,
y' = y1' + y2',
y'' = y1'' + y2''
Agora aplicamos o operador L sobre y:
L[y] = y'' + P(x),y' + Q(x),y
Substituindo as expressões acima,
L[y] = l(y1''+y2''r) + P(x)l(y1'+y2'r) + Q(x)l(y1+y2r)

Passo 3

Agrupando os termos da soma, obtemos
L[y] = l(y1'' + P(x),y1' + Q(x),y1r) + l(y2'' + P(x),y2' + Q(x),y2r)
Pelo enunciado temos
y1'' + P(x),y1' + Q(x),y1 = R1(x), y2'' + P(x),y2' + Q(x),y2 = R2(x)
Logo
L[y] = R1(x) + R2(x),
o que mostra exatamente que y(x)=y1(x)+y2(x) é solução da equação com lado direito R1+R2.

Resposta

Portanto, y(x)=y1(x)+y2(x) satisfaz
y'' + P(x),y' + Q(x),y = R1(x) + R2(x)

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