- Princípio da superposição: se
e
são soluções de
e de
respectivamente, mostre que
é solução de
.
Passo 1
O enunciado trata do princípio da superposição para a equação linear não homogênea
Sabemos que
satisfaz
e que
satisfaz
O objetivo é mostrar que a soma
é solução de
Vamos usar a linearidade das derivadas e do operador
.
Passo 2
Calculemos as derivadas de
. Por linearidade do operador derivada,
Agora aplicamos o operador
sobre
:
Substituindo as expressões acima,
Passo 3
Agrupando os termos da soma, obtemos
Pelo enunciado temos
Logo
o que mostra exatamente que
é solução da equação com lado direito
.
Resposta
Portanto,
satisfaz