Exercício 4. Determine as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v, utilizando a regra da cadeia.
z=raizx^2+y^2+5, x=cos u, y=sen v

Passo 1

O enunciado fornece a função
z=raizx^2+y^2+5,
com as substituições
x=cos u e y=sin v.
O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções de várias variáveis: primeiro calculamos partial z/partial x e partial z/partial y e depois compomos com partial x/partial u, partial y/partial u, partial x/partial v e partial y/partial v.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como
z=(x^2+y^2+5)^1/2,
temos
partial zpartial x =12(x^2+y^2+5)^-1/2cdot 2x =xraizx^2+y^2+5,
partial zpartial y =12(x^2+y^2+5)^-1/2cdot 2y =yraizx^2+y^2+5

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para partial z/partial u:
partial zpartial u =partial zpartial x,partial xpartial u +partial zpartial y,partial ypartial u
Como x=cos u e y=sin v, obtemos
partial xpartial u=-sin u e
partial ypartial u=0.
Logo
partial zpartial u =xraizx^2+y^2+5;(-sin u) =-x,sin uraizx^2+y^2+5
Substituindo x=cos u e y=sin v, ficamos com
partial zpartial u =-cos u;sin uraizcos^2u+sin^2v+5

Passo 4

De modo análogo, para partial z/partial v temos
partial zpartial v =partial zpartial x,partial xpartial v +partial zpartial y,partial ypartial v
Aqui partial xpartial v=0 e
partial ypartial v=cos v.
Assim
partial zpartial v =yraizx^2+y^2+5;cos v =y,cos vraizx^2+y^2+5
Substituindo x=cos u e y=sin v, obtemos
partial zpartial v =sin v;cos vraizcos^2u+sin^2v+5

Resposta

partial zpartial u =-cos u;sin uraizcos^2u+sin^2v+5, partial zpartial v =sin v;cos vraizcos^2u+sin^2v+5

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