Nos problemas 1-20, determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
19. t^4 y-5 t^3-t y+y^3=c

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial de primeira ordem na forma
M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0
com
M(t,y) = 4t^3y - 15t^2 - y, N(t,y) = t^4 - t + 3y^2
O conteúdo é de equações exatas: para resolver precisamos
  1. testar se partial M/partial y = partial N/partial t,
  2. em caso afirmativo, encontrar uma função potencial F(t,y) tal que Ft=M e Fy=N, e então escrever F(t,y)=C.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = partialpartial yl(4t^3y -15t^2 - yr) = 4t^3 - 1,
partial Npartial t = partialpartial tl(t^4 - t +3y^2r) = 4t^3 - 1
Como partial M/partial y = partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 3

Existe uma função F(t,y) tal que
partial Fpartial t = M(t,y) = 4t^3y -15t^2 - y
Integramos essa igualdade em relação a t, tratando y como constante:
F(t,y) = integral (4t^3y -15t^2 - y),dt = t^4y -5t^3 - ty + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 4

Agora impomos
partial Fpartial y = N(t,y) = t^4 - t + 3y^2
Por outro lado,
partialpartial yl(t^4y -5t^3 - ty + h(y)r) = t^4 - t + h'(y)
Comparando com N(t,y) temos
h'(y) = 3y^2 ;;Longrightarrow;; h(y) = y^3 + constante
Incorporamos a constante em C no final.

Resposta

A solução geral (implícita) é
t^4y -5t^3 - t y + y^3 = C

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