Exercício 3. Determine as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o resultado do Teorema de Schwarz.
f(s, t)=e^-s sin t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(s, t) = e^{-s} \sin t $ e também verificar o Teorema de Schwarz. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente em derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e entender o que diz o Teorema de Schwarz sobre a igualdade das derivadas mistas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(s, t) $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ s $ é:
f(s, t)
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ t $ é:
f

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, a derivada parcial segunda em relação a $ s $:
s
Depois, a derivada mista, primeiro em relação a $ s $ e depois a $ t $:
partial^2 fpartial s^2 = partialpartial s ( -e^-s sin t ) = e^-s sin t
E a derivada mista na ordem inversa, primeiro em relação a $ t $ e depois a $ s $:
s
Finalmente, a derivada parcial segunda em relação a $ t $:
t

Passo 4

Agora, vamos verificar o Teorema de Schwarz, que afirma que se as derivadas parciais mistas são contínuas, então elas são iguais independente da ordem em que são tomadas. Ou seja, devemos ter:
partial^2 fpartial t partial s = partial^2 fpartial s partial t
Do Passo 3 vimos que:
partial^2 fpartial t partial s = -e^-s cos t
partial^2 fpartial s partial t = -e^-s cos t
Como ambas são iguais, o Teorema de Schwarz está confirmado para essa função.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem de $ f(s, t) = e^{-s} \sin t $ são:
f(s, t) = e^-s sin t
partial^2 fpartial s^2 = e^-s sin t
partial^2 fpartial t^2 = -e^-s sin t
E conforme o Teorema de Schwarz, as derivadas mistas são iguais.

Exercícios relacionados