Exercício 3. Determine as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o resultado do Teorema de Schwarz.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(s, t) = e^{-s} \sin t $ e também verificar o Teorema de Schwarz. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente em derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e entender o que diz o Teorema de Schwarz sobre a igualdade das derivadas mistas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(s, t) $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ s $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ t $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, a derivada parcial segunda em relação a $ s $:
Depois, a derivada mista, primeiro em relação a $ s $ e depois a $ t $:
E a derivada mista na ordem inversa, primeiro em relação a $ t $ e depois a $ s $:
Finalmente, a derivada parcial segunda em relação a $ t $:
Passo 4
Agora, vamos verificar o Teorema de Schwarz, que afirma que se as derivadas parciais mistas são contínuas, então elas são iguais independente da ordem em que são tomadas. Ou seja, devemos ter:
Do Passo 3 vimos que:
Como ambas são iguais, o Teorema de Schwarz está confirmado para essa função.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem de $ f(s, t) = e^{-s} \sin t $ são:
E conforme o Teorema de Schwarz, as derivadas mistas são iguais.