Exercício 4 Determine o domínio de cada função. Considere: d8 = 1; d7 = 8; d6 = 5 .
g(x)=ln x+d8x-1+d7

Passo 1

A questão pede para determinar o domínio da função g(x)=lnl(x+d8x-1+d7r), onde d8=1 e d7=8. O conteúdo envolvido é domínio de logaritmo e resolução de desigualdades de funções racionais. Vamos precisar usar: a) argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo; b) denominador não pode ser zero.

Passo 2

Substituímos os valores de d8 e d7 na expressão de g(x):
g(x)=lnl(x+1x-1+8r)

Passo 3

Para que g(x) esteja definida precisamos de duas condições:
  1. O denominador x-1 não pode ser zero, ou seja, xneq1.
  2. O argumento do ln deve ser positivo:
x+1x-1+8>0

Passo 4

Vamos combinar a soma em uma única fração:
x+1x-1+8 =x+1+8(x-1)x-1 =9x-7x-1
Portanto, a condição de positividade passa a ser
9x-7x-1>0

Passo 5

Para resolver 9x-7x-1>0 identificamos os zeros do numerador e denominador:
  • Numerador zero em x=7/9.
  • Denominador zero em x=1.
    Fazendo o estudo de sinais em ( -infty,7/9), (7/9,1) e (1,infty):
  • Em x<7/9: numerador negativo, denominador negativo ⇒ quociente positivo.
  • Em 7/9: numerador positivo, denominador negativo ⇒ quociente negativo.
  • Em x>1: numerador positivo, denominador positivo ⇒ quociente positivo.

Passo 6

Concluímos que a desigualdade 9x-7x-1>0 vale para
xin(-infty,7/9)cup(1,infty), excluindo x=1 e x=7/9 (pois em x=7/9 o argumento do log seria zero). Portanto, esse é o domínio de g(x).

Resposta

(-infty,,7/9);cup;(1,,infty)

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