Mostre uma bijeção explícita entre
e
. COM CÁLCULOS
Passo 1
O enunciado pede uma bijeção explícita entre o intervalo aberto
e todo o conjunto dos reais
. O conteúdo aqui é teoria de funções reais, mais especificamente como construir e provar que uma dada função é bijetora. Para resolver, vamos usar a função logito
, mostrando injetividade, sobrejetividade (pelo comportamento nas extremidades) e construindo a inversa.
Passo 2
Vamos definir a função
por
Neste passo identificamos domínio e contradomínio e escrevemos a fórmula que pretendemos provar bijetora.
Passo 3
Para mostrar injetividade, calculamos a derivada de
. Como
usamos derivação termo a termo e a regra da cadeia:
Como
em
, temos
em todo o domínio, logo
é estritamente crescente e, portanto, injetiva.
Passo 4
Para mostrar sobrejetividade, analisamos os limites nas extremidades de
:
Por ser contínua e estritamente crescente, e variar de
a
, sua imagem é todo
. Logo,
é sobrejetiva.
Passo 5
Para encontrar a inversa, resolvemos
para
. Exponenciando:
logo
Isso mostra explicitamente a bijeção e sua inversa.
Passo 6
Com isso temos a prova completa:
é injetiva, sobrejetiva e tem inversa bem definida.
Resposta
Uma bijeção explícita é
definida por
definida por
cuja inversa é