Mostre uma bijeção explícita entre (0,1) e R. COM CÁLCULOS

Passo 1

O enunciado pede uma bijeção explícita entre o intervalo aberto (0,1) e todo o conjunto dos reais R. O conteúdo aqui é teoria de funções reais, mais especificamente como construir e provar que uma dada função é bijetora. Para resolver, vamos usar a função logito f(x)=lnl(x1-xr), mostrando injetividade, sobrejetividade (pelo comportamento nas extremidades) e construindo a inversa.

Passo 2

Vamos definir a função f:(0,1)toR por
f(x)=lnl(x1-xr)
Neste passo identificamos domínio e contradomínio e escrevemos a fórmula que pretendemos provar bijetora.

Passo 3

Para mostrar injetividade, calculamos a derivada de f. Como
f(x)=ln(x)-ln(1-x),
usamos derivação termo a termo e a regra da cadeia:
f'(x)=1x-l(-11-xr)=1x+11-x=1x(1-x)
Como x(1-x)>0 em (0,1), temos f'(x)>0 em todo o domínio, logo f é estritamente crescente e, portanto, injetiva.

Passo 4

Para mostrar sobrejetividade, analisamos os limites nas extremidades de (0,1):
limxto0^+f(x)=limxto0^+lnl(x1-xr)=ln(0)-ln(1)=-infty,
limxto1^-f(x)=limxto1^-lnl(x1-xr)=ln(1)-ln(0)=+infty
Por ser contínua e estritamente crescente, e variar de -infty a +infty, sua imagem é todo R. Logo, f é sobrejetiva.

Passo 5

Para encontrar a inversa, resolvemos y=lnl(x1-xr) para x. Exponenciando:
e^y=x1-xLongrightarrow x=e^y(1-x)Longrightarrow x+x e^y=e^yLongrightarrow x(1+e^y)=e^y,
logo
f^-1(y)=x=e^y1+e^y=11+e^-y
Isso mostra explicitamente a bijeção e sua inversa.

Passo 6

Com isso temos a prova completa: f é injetiva, sobrejetiva e tem inversa bem definida.

Resposta

Uma bijeção explícita é
definida por
f:(0,1)toR, f(x)=lnl(x1-xr),
cuja inversa é
f^-1(y)=11+e^-y

Exercícios relacionados