Exercício 9. Determine o domínio da função
f(x)=\ln (5-x)
Hint: Quando o logaritmo está definido?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\ln(5-x) e pede para determinar o domínio de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é f(x)=\ln(5-x).
  • Dica do enunciado: “Quando o logaritmo está definido?”

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): o logaritmo natural \ln(y) está definido somente quando o argumento y é positivo. Ou seja, \ln(y) existe apenas para
y>0.
Motivo curto e intuitivo: \ln(y) é a solução da equação e^{t}=y. Como a função exponencial e^{t} só produz números positivos, só existe t (logo \ln(y)) quando y>0. Exemplos rápidos: \ln(1)=0 (ok), \ln(0) não existe, \ln(-1) não existe.

Passo 3

Aplicando essa condição ao nosso caso: o argumento do logaritmo é 5-x. Então devemos exigir
5-x>0.

Passo 4

Resolver a desigualdade passo a passo:
5-x>0
subtrair 5 dos dois lados:
-x>-5.
Multiplicar por -1. Lembrete importante: ao multiplicar (ou dividir) uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Assim:
x<5.
Portanto a condição para x ser válido é x<5.

Passo 5

Verificação por exemplos (para fixar a ideia):
  • Se x=4, então 5-x=1>0 e \ln(1)=0 está definido.
  • Se x=5, então 5-x=0 e \ln(0) não existe (por isso o ponto x=5 não está no domínio).
  • Se x=6, então 5-x=-1 e \ln(-1) não existe.

Passo 6

Escrever o domínio em notações usuais: em notação de conjunto,
\{x\in\mathbb{R}\mid x<5\},
e em notação de intervalo,
(-\infty,5).

Resposta

\,(-\infty,5)

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