Exercício 4 - Determine o domínio das funções reais de duas variáveis reais abaixo:
g(x, y)=\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}}}+\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função de duas variáveis reais
g(x,y)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2}}+\sqrt{4-x^2-y^2}.
Esse tipo de problema envolve verificar onde os radicais estão definidos e onde não temos divisão por zero.

Passo 2

Para o termo \frac{x-1}{\sqrt{x^2}} precisamos que o denominador não se anule, ou seja \sqrt{x^2}\neq0. Como \sqrt{x^2}=|x|, isso impõe
|x|\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq0.

Passo 3

Para o radical \sqrt{4-x^2-y^2} é preciso que o argumento seja não-negativo:
4 - x^2 - y^2 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 \le 4.

Passo 4

Agora é só juntar as duas restrições. O domínio de g é o conjunto de todos os (x,y) tais que
x\neq0 \quad\text{e}\quad x^2 + y^2 \le 4.

Resposta

D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq0,\;x^2+y^2\le4\}.

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