Exercício 5 - Determine e faça um esboço do domínio das funções reais de duas variáveis reais abaixo:
g(x, y)=\sqrt{x}-2 \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar e esboçar o domínio da função
g(x,y)=\sqrt{x}\;-\;2\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}.
O conteúdo aqui é domínio de funções com radicais: devemos garantir que o argumento de cada raiz quadrada seja não negativo.

Passo 2

Analisando \sqrt{x}, exigimos x \ge 0.

Passo 3

Analisando \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}, exigimos
1 - x^{2} - y^{2} \ge 0
que equivale a
x^{2} + y^{2} \le 1.

Passo 4

O domínio é a interseção das duas condições anteriores, isto é,
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\ge 0,\;x^{2}+y^{2}\le 1\}.

Passo 5

Para esboçar D, desenhe o círculo de raio 1 centrado na origem e sombreie apenas a metade direita (onde x\ge0), incluindo a borda do semicírculo.

Resposta

D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\ge 0,\;x^{2}+y^{2}\le 1\}.

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