Exercício 5 - Determine e faça um esboço do domínio das funções reais de duas variáveis reais abaixo:
g(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função de duas variáveis
g(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}.
Conteúdo: domínio de função real de duas variáveis, cuidando para que o denominador não seja zero.

Passo 2

Para que g(x,y) esteja bem definida, devemos ter
x^{2}+y^{2}+1 \neq 0.
Como x^{2}\ge0 e y^{2}\ge0, temos
x^{2}+y^{2}+1\ge1>0
para todo par (x,y). Logo, o denominador nunca se anula.

Passo 3

Como não há nenhuma restrição sobre (x,y), o domínio é todo o plano. No esboço, basta desenhar os eixos x e y e sombrear todo o plano cartesiano, pois todos os pontos satisfazem a condição.

Resposta

O domínio de g é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\}=\mathbb{R}^{2}.

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