Exercício 4-Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=raizxx^2-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função
f(x)=raizxx^2-1
O conteúdo envolve domínio de função com radical e fração: precisamos garantir que o radicando seja não-negativo e que o denominador não seja zero.

Passo 2

Para que f(x) esteja definida, devemos ter duas condições simultâneas:
1. O denominador é não nulo:
x^2-1 neq 0 Longrightarrow xneq pm 1
2. O radicando é não-negativo:
xx^2-1>= 0

Passo 3

Identificamos os pontos críticos da desigualdade tfracxx^2-1>=0:
  • Numerador zero em x=0.
  • Denominador zero em x=pm1 (pontos de descontinuidade).
Logo, os intervalos a analisar são
(-infty,-1),;(-1,0),;(0,1),;(1,infty)

Passo 4

Analisando o sinal de x(x-1)(x+1) em cada intervalo:
  • Em (-infty,-1): x<0 dá numerador negativo, e (x-1)(x+1)>0 dá denominador positivo, logo fração negativa.
  • Em (-1,0): numerador negativo, denominador (x-1)<0 e (x+1)>0 dá negativo, logo fração positiva.
  • Em (0,1): numerador positivo, denominador negativo, logo fração negativa.
  • Em (1,infty): numerador positivo, denominador positivo, logo fração positiva.
Além disso, em x=0 a fração vale zero, o que é permitido dentro da raiz.

Passo 5

Devem ser incluídos os pontos onde a fração é >=0 e excluir x=pm1. Assim o domínio é
(-1,0];cup;(1,infty)

Resposta

Dom(f)=(-1,0];cup;(1,infty)

Exercícios relacionados