Prove que a função f: R longrightarrow R dada por f(x)=sumn=0^infty 3^2 n+1(2 n+1)! x^2 n+1 está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
y^prime prime-9 y=0
em R.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a função f:RtoR dada por
f(x)=sumn=0^infty 3^2n+1(2n+1)!,x^2n+1
está bem definida (ou seja, converge para todo xinR) e satisfaz a equação diferencial ordinária y''-9y=0. Vamos usar teoria de séries de potência, teste de convergência e derivação termo a termo.

Passo 2

Para mostrar que f(x) converge para todo x, aplicamos o teste da razão a um termo genérico
an=3^2n+1(2n+1)!,x^2n+1
Calculamos
|an+1an| = 3^2(n+1)+1,|x|^2(n+1)+1/(2(n+1)+1)!3^2n+1,|x|^2n+1/(2n+1)! = 3^2,|x|^2(2n+2)(2n+3)
Como limntoinfty 3^2|x|^2(2n+2)(2n+3) = 0<1, a série converge para todo x, logo f está bem definida em R.

Passo 3

As séries de potências convergentes em todo R permitem derivação termo a termo em qualquer compacto. Vamos calcular as derivadas:
f'(x)=sumn=0^infty 3^2n+1(2n+1)!,(2n+1)x^2n = sumn=0^infty 3^2n+1(2n)!,x^2n,
f''(x)=sumn=1^infty 3^2n+1(2n)!,(2n)x^2n-1 = sumn=1^infty 3^2n+1(2n-1)!,x^2n-1

Passo 4

Fazendo a mudança de índice m=n-1 na série de f'', obtemos:
f''(x)=summ=0^infty 3^2(m+1)+1(2(m+1)-1)!,x^2(m+1)-1 = summ=0^infty 3^2m+3(2m+1)!,x^2m+1
Como 3^2m+3=9,3^2m+1, isso dá
f''(x)=9summ=0^infty 3^2m+1(2m+1)!,x^2m+1 = 9f(x)

Passo 5

Substituindo na equação diferencial:
f''(x)-9f(x)=9f(x)-9f(x)=0,
o que prova que f satisfaz y''-9y=0 em R.

Resposta

A função está bem definida em R e satisfaz a equação diferencial y''-9y=0, logo é solução da EDO em R.

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