Prove que a função dada por está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
em R.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que a função dada por
está bem definida (ou seja, converge para todo ) e satisfaz a equação diferencial ordinária . Vamos usar teoria de séries de potência, teste de convergência e derivação termo a termo.
Passo 2
Para mostrar que converge para todo , aplicamos o teste da razão a um termo genérico
Calculamos
Como limntoinfty 3^2|x|^2(2n+2)(2n+3) = 0<1, a série converge para todo x, logo f está bem definida em R.
Passo 3
As séries de potências convergentes em todo R permitem derivação termo a termo em qualquer compacto. Vamos calcular as derivadas: