Exercício 1.0.5. Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar e esboçar o domínio da função
.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- A função é definida em pares
(ou seja, queremos um subconjunto do plano ). - A expressão envolve
sozinho e . - Precisamos saber para quais valores de
e a expressão faz sentido (está bem definida).
Passo 2
Entender onde
está definida. Vou explicar isso devagar, como se estivéssemos juntos estudando para a prova.
O arco cosseno
é a função inversa do cosseno quando restringimos o cosseno para tornar a inversa bem definida. O ponto importante para nós agora é: os valores possíveis de cosseno estão entre
e
. Portanto, só faz sentido aplicar
em argumentos que estejam nesse intervalo. Em linguagem matemática:
Isso significa que qualquer
fora desse intervalo (por exemplo
ou
) não é permitido porque
não existe para esses
.
Passo 3
Agora pense no
. Não há nenhuma restrição sobre
vinda da expressão
:
aparece apenas somando, é um número real comum. Logo
pode ser qualquer número real:
Passo 4
Juntando as duas informações:
livre e
restrito a
. Em notação de conjunto, o domínio
é
Aqui eu explico cada símbolo para você não se perder:
significa que estamos falando de pontos do plano; a barra vertical
separa a condição; e
é a condição que exige que a coordenada
esteja entre
e
, inclusive.
Passo 5
Interprete geometricamente (como desenhar na prova): o conjunto
é uma faixa horizontal (um “faixa” ou “tira”) infinita no sentido
, limitada pelas retas horizontais
e
. As duas fronteiras
e
fazem parte do domínio porque o intervalo é fechado (os sinais
e
são inclusivos).
Modo prático de esboçar: desenhe os eixos
e
, trace uma linha horizontal em
e outra em
, depois pinte a região entre elas (inclusive as linhas). Pronto — esse é o domínio.
Passo 6
Alguns exemplos para fixar:
- O ponto
pertence ao domínio porque e . De fato . - O ponto
pertence ao domínio porque está no limite; . - O ponto
não pertence ao domínio porque e não existe.