Exercício 1.0.5. Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
f(x, y)=x+\operatorname{arccos} (y).

Passo 1

O enunciado pede: determinar e esboçar o domínio da função f(x,y)=x+\operatorname{arccos}(y).
Informações dadas que vamos usar:
  • A função é definida em pares (x,y) (ou seja, queremos um subconjunto do plano \mathbb{R}^2).
  • A expressão envolve x sozinho e \operatorname{arccos}(y).
  • Precisamos saber para quais valores de x e y a expressão x+\operatorname{arccos}(y) faz sentido (está bem definida).

Passo 2

Entender onde \operatorname{arccos}(y) está definida. Vou explicar isso devagar, como se estivéssemos juntos estudando para a prova.
O arco cosseno \operatorname{arccos} é a função inversa do cosseno quando restringimos o cosseno para tornar a inversa bem definida. O ponto importante para nós agora é: os valores possíveis de cosseno estão entre -1 e 1. Portanto, só faz sentido aplicar \operatorname{arccos} em argumentos que estejam nesse intervalo. Em linguagem matemática:
\operatorname{arccos}(y)\\ \text{está definida se, e somente se,}\\\ -1 \le y \le 1.á
Isso significa que qualquer y fora desse intervalo (por exemplo y=1{,}2 ou y=-2) não é permitido porque \operatorname{arccos}(y) não existe para esses y.

Passo 3

Agora pense no x. Não há nenhuma restrição sobre x vinda da expressão x+\operatorname{arccos}(y): x aparece apenas somando, é um número real comum. Logo x pode ser qualquer número real:
x \in \mathbb{R}.

Passo 4

Juntando as duas informações: x livre e y restrito a [-1,1]. Em notação de conjunto, o domínio D é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -1 \le y \le 1\}.
Aqui eu explico cada símbolo para você não se perder: (x,y)\in\mathbb{R}^2 significa que estamos falando de pontos do plano; a barra vertical \mid separa a condição; e -1 \le y \le 1 é a condição que exige que a coordenada y esteja entre -1 e 1, inclusive.

Passo 5

Interprete geometricamente (como desenhar na prova): o conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -1 \le y \le 1\} é uma faixa horizontal (um “faixa” ou “tira”) infinita no sentido x, limitada pelas retas horizontais y=1 e y=-1. As duas fronteiras y=1 e y=-1 fazem parte do domínio porque o intervalo é fechado (os sinais \le e \ge são inclusivos).
Modo prático de esboçar: desenhe os eixos x e y, trace uma linha horizontal em y=1 e outra em y=-1, depois pinte a região entre elas (inclusive as linhas). Pronto — esse é o domínio.

Passo 6

Alguns exemplos para fixar:
  • O ponto (0,0) pertence ao domínio porque 0\in\mathbb{R} e -1\le 0\le 1. De fato f(0,0)=0+\operatorname{arccos}(0)=\pi/2.
  • O ponto (2,1) pertence ao domínio porque 1 está no limite; f(2,1)=2+\operatorname{arccos}(1)=2+0=2.
  • O ponto (3,1{,}5) não pertence ao domínio porque 1{,}5\notin[-1,1] e \operatorname{arccos}(1{,}5) não existe.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -1 \le y \le 1\}

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