Exemplo 1.0.3. Seja
a função definida por
.
Solução. O domínio desta função é todo o
, a função em questão calcula a norma de vetores do
, sendo assim, está definida para todos os vetores deste espaço. A imagem desta função é o conjunto dos reais, pois em
existem vetores de todos os “tamanhos”.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas implícitas que vamos responder são: qual é o domínio de
e qual é a imagem (conjunto de valores que
realmente assume)?
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “domínio” e “imagem” de uma função de forma bem clara. O domínio é o conjunto de todos os vetores
para os quais a regra da função faz sentido (ou seja, podemos calcular
). A imagem (ou conjunto-valor) é o conjunto de todos os números reais
para os quais existe algum
com
.
Passo 3
Analisando a expressão de
: dentro da raiz temos a soma de quadrados
. Cada termo
está bem definido para todo
, e a soma de quadrados é sempre um número real não negativo. A função raiz quadrada
está definida para números reais não negativos. Portanto a operação
faz sentido para qualquer vetor
.
Passo 4
Conclusão sobre o domínio: como a expressão é válida para qualquer
, o domínio é todo
. Em notação:
Um lembrete prático: não há restrição como divisão por zero ou raiz de número negativo que exclua pontos; por isso todo vetor é permitido.
Passo 5
Agora vamos estudar os valores possíveis de
. Observe que para qualquer
vale
logo
Isto mostra que
nunca pode ser negativo. Em particular, números negativos não pertencem à imagem de
.
Passo 6
Quando
? Isso acontece exatamente quando cada
, i.e., quando
. Portanto
se, e somente se,
é o vetor nulo
. Assim
pertence à imagem.
Passo 7
Agora mostramos que todo número real não negativo aparece como valor de
. Seja
. Considere o vetor
. Então
Portanto, para cada
existe um
com
. Assim todo
está na imagem.
Passo 8
Combinar os passos anteriores dá a imagem exata: por um lado mostramos que todos os valores de
são
, então
; por outro lado mostramos que todo
é alcançado, então
. Concluímos
Comentário final e exemplo para fixar: a solução que dizia que a imagem é “o conjunto dos reais” está errada porque esqueceu que a raiz quadrada só produz valores não negativos. Exemplos numéricos rápidos: em
,
; não existe
com
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: