Exemplo 1.0.3. Seja f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} a função definida por f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left\|\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right\|= \sqrt{\left(x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\right)}.
Solução. O domínio desta função é todo o \mathbb{R}^{n}, a função em questão calcula a norma de vetores do R R^{n}, sendo assim, está definida para todos os vetores deste espaço. A imagem desta função é o conjunto dos reais, pois em \mathbb{R}^{n} existem vetores de todos os “tamanhos”. \square

Passo 1

O enunciado dá a função f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} definida por
f\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)=\left\|\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\right\|=\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}.
As perguntas implícitas que vamos responder são: qual é o domínio de f e qual é a imagem (conjunto de valores que f realmente assume)?

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “domínio” e “imagem” de uma função de forma bem clara. O domínio é o conjunto de todos os vetores x=(x_{1},\ldots,x_{n}) para os quais a regra da função faz sentido (ou seja, podemos calcular f(x)). A imagem (ou conjunto-valor) é o conjunto de todos os números reais y para os quais existe algum x com f(x)=y.

Passo 3

Analisando a expressão de f: dentro da raiz temos a soma de quadrados \,x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\,. Cada termo x_{i}^{2} está bem definido para todo x_{i}\in\mathbb{R}, e a soma de quadrados é sempre um número real não negativo. A função raiz quadrada \sqrt{\cdot} está definida para números reais não negativos. Portanto a operação x\mapsto\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}} faz sentido para qualquer vetor x\in\mathbb{R}^{n}.

Passo 4

Conclusão sobre o domínio: como a expressão é válida para qualquer x\in\mathbb{R}^{n}, o domínio é todo \mathbb{R}^{n}. Em notação:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}^{n}.
Um lembrete prático: não há restrição como divisão por zero ou raiz de número negativo que exclua pontos; por isso todo vetor é permitido.

Passo 5

Agora vamos estudar os valores possíveis de f. Observe que para qualquer x\in\mathbb{R}^{n} vale
x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\ge 0,
logo
f(x)=\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}\ge 0.
Isto mostra que f(x) nunca pode ser negativo. Em particular, números negativos não pertencem à imagem de f.

Passo 6

Quando f(x)=0? Isso acontece exatamente quando cada x_{i}^{2}=0, i.e., quando x_{1}=\cdots=x_{n}=0. Portanto f(x)=0 se, e somente se, x é o vetor nulo 0=(0,\ldots,0). Assim 0 pertence à imagem.

Passo 7

Agora mostramos que todo número real não negativo aparece como valor de f. Seja t\ge 0. Considere o vetor x=(t,0,\ldots,0)\in\mathbb{R}^{n}. Então
f(x)=\sqrt{t^{2}+0+\cdots+0}=\sqrt{t^{2}}=t.
Portanto, para cada t\ge 0 existe um x com f(x)=t. Assim todo t\ge 0 está na imagem.

Passo 8

Combinar os passos anteriores dá a imagem exata: por um lado mostramos que todos os valores de f são \ge 0, então \text{Im}(f)\subseteq[0,\infty); por outro lado mostramos que todo t\in[0,\infty) é alcançado, então [0,\infty)\subseteq\text{Im}(f). Concluímos
\text{Im}(f)=[0,\infty).
Comentário final e exemplo para fixar: a solução que dizia que a imagem é “o conjunto dos reais” está errada porque esqueceu que a raiz quadrada só produz valores não negativos. Exemplos numéricos rápidos: em \mathbb{R}^{2}, f(3,4)=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5; não existe x com f(x)=-1.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^{n}
Imagem: [0,\infty)

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