Exemplo 4.5.1. Seja f(x, y)=4 x^{5} y^{3}+5 x y^{7}+x. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f.
\begin{array}{ll} f_{x}=20 x^{4} y^{3}+5 y^{7}+1 & f_{y}=12 x^{5} y^{2}+35 x y^{6} \\ f_{x x}=80 x^{3} y^{3} & f_{y y}=24 x^{5} y+210 x y^{5} \\ f_{x y}=60 x^{4} y^{2}+35 y^{6} & f_{y x}=60 x^{4} y^{2}+35 y^{6}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=4x^{5}y^{3}+5xy^{7}+x
e pede que calculemos as derivadas parciais de segunda ordem de f. As informações relevantes são:
  • A função explícita \,f(x,y)=4x^{5}y^{3}+5xy^{7}+x.
  • Queremos encontrar \,f_{xx},\,f_{yy},\,f_{xy} e \,f_{yx} (as derivadas parciais de segunda ordem).
    Nada mais foi dado nem é necessário.

Passo 2

Antes de começar a calcular, uma rápida aula prática sobre como derivar parcialmente:
  • Derivada parcial em relação a x: derivamos tratando y como constante. Use a regra da potência: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Se houver um fator constante multiplicando a potência, ele permanece (regra do fator constante).
  • Derivada parcial em relação a y: análogo, derivamos tratando x como constante.
  • Para derivadas de produtos onde uma parte depende de x e outra de y (por exemplo x^{5}y^{3}), ao derivar em x consideramos y^{3} como constante e aplicamos a regra da potência só em x.
    Exemplo rápido: a derivada parcial de \,a x^{n} y^{m} em relação a x é \,a n x^{n-1} y^{m}, porque y^{m} é constante.

Passo 3

Calculemos \,f_{x} (primeira derivada parcial em x), derivando termo a termo e tratando y como constante.
  • Para \,4x^{5}y^{3}: y^{3} é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(4x^{5}y^{3}\big)=4\cdot 5x^{4}y^{3}=20x^{4}y^{3}.
  • Para \,5xy^{7}: y^{7} é constante, a derivada de x é 1, logo
\frac{\partial}{\partial x}\big(5xy^{7}\big)=5\cdot 1\cdot y^{7}=5y^{7}.
  • Para \,x: a derivada em relação a x é 1:
\frac{\partial}{\partial x}(x)=1.
Somando os termos:
f_{x}=20x^{4}y^{3}+5y^{7}+1.

Passo 4

Calculemos \,f_{y} (primeira derivada parcial em y), agora derivando em y e tratando x como constante.
  • Para \,4x^{5}y^{3}: x^{5} é constante, aplicamos a regra da potência em y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(4x^{5}y^{3}\big)=4x^{5}\cdot 3y^{2}=12x^{5}y^{2}.
  • Para \,5xy^{7}: x é constante, derivamos y^{7}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(5xy^{7}\big)=5x\cdot 7y^{6}=35x y^{6}.
  • Para \,x: como não depende de y, a derivada é 0.
    Somando:
f_{y}=12x^{5}y^{2}+35xy^{6}.

Passo 5

Agora as derivadas de segunda ordem: \,f_{xx} é a derivada de \,f_{x} em relação a x. Partimos de
f_{x}=20x^{4}y^{3}+5y^{7}+1.
Derivando termo a termo em x (lembrando que y é constante):
  • \frac{\partial}{\partial x}\big(20x^{4}y^{3}\big)=20\cdot 4 x^{3} y^{3}=80x^{3}y^{3}.
  • \frac{\partial}{\partial x}\big(5y^{7}\big)=0 (não depende de x).
  • \frac{\partial}{\partial x}(1)=0.
    Portanto
f_{xx}=80x^{3}y^{3}.

Passo 6

Calculemos \,f_{xy}: derivamos \,f_{x} em relação a y. Partimos de
f_{x}=20x^{4}y^{3}+5y^{7}+1.
Derivando em y:
  • \frac{\partial}{\partial y}\big(20x^{4}y^{3}\big)=20x^{4}\cdot 3y^{2}=60x^{4}y^{2}.
  • \frac{\partial}{\partial y}\big(5y^{7}\big)=5\cdot 7 y^{6}=35y^{6}.
  • \frac{\partial}{\partial y}(1)=0.
    Logo
f_{xy}=60x^{4}y^{2}+35y^{6}.

Passo 7

Calculemos \,f_{yx}: derivamos \,f_{y} em relação a x. Partimos de
f_{y}=12x^{5}y^{2}+35xy^{6}.
Derivando em x:
  • \frac{\partial}{\partial x}\big(12x^{5}y^{2}\big)=12\cdot 5 x^{4} y^{2}=60x^{4}y^{2}.
  • \frac{\partial}{\partial x}\big(35xy^{6}\big)=35\cdot 1\cdot y^{6}=35y^{6}.
    Somando:
f_{yx}=60x^{4}y^{2}+35y^{6}.
Observe que \,f_{xy}=f_{yx} aqui — os dois resultados coincidem (isso costuma ocorrer quando as derivadas mistas são contínuas, resultado conhecido como teorema de igualdade das derivadas mistas).

Passo 8

Finalmente calculemos \,f_{yy}: derivamos \,f_{y} em relação a y. Partimos de
f_{y}=12x^{5}y^{2}+35xy^{6}.
Derivando em y:
  • \frac{\partial}{\partial y}\big(12x^{5}y^{2}\big)=12x^{5}\cdot 2y=24x^{5}y.
  • \frac{\partial}{\partial y}\big(35xy^{6}\big)=35x\cdot 6y^{5}=210x y^{5}.
    Somando:
f_{yy}=24x^{5}y+210x y^{5}.

Resposta

f_{xx}=80x^{3}y^{3} \n
f_{yy}=24x^{5}y+210x y^{5} \n
f_{xy}=60x^{4}y^{2}+35y^{6} \n
f_{yx}=60x^{4}y^{2}+35y^{6}

Exercícios relacionados