Exemplo 4.5.1. Seja
. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que calculemos as derivadas parciais de segunda ordem de
. As informações relevantes são:
- A função explícita
. - Queremos encontrar
e (as derivadas parciais de segunda ordem).
Nada mais foi dado nem é necessário.
Passo 2
Antes de começar a calcular, uma rápida aula prática sobre como derivar parcialmente:
- Derivada parcial em relação a
: derivamos tratando como constante. Use a regra da potência: a derivada de é . Se houver um fator constante multiplicando a potência, ele permanece (regra do fator constante). - Derivada parcial em relação a
: análogo, derivamos tratando como constante. - Para derivadas de produtos onde uma parte depende de
e outra de (por exemplo ), ao derivar em consideramos como constante e aplicamos a regra da potência só em .
Exemplo rápido: a derivada parcial deem relação a é , porque é constante.
Passo 3
Calculemos
(primeira derivada parcial em
), derivando termo a termo e tratando
como constante.
- Para
: é constante, então
- Para
: é constante, a derivada de é , logo
- Para
: a derivada em relação a é :
Somando os termos:
Passo 4
Calculemos
(primeira derivada parcial em
), agora derivando em
e tratando
como constante.
- Para
: é constante, aplicamos a regra da potência em :
- Para
: é constante, derivamos :
- Para
: como não depende de , a derivada é .
Somando:
Passo 5
Agora as derivadas de segunda ordem:
é a derivada de
em relação a
. Partimos de
Derivando termo a termo em
(lembrando que
é constante):
-
-
(não depende de ). -
Portanto
Passo 6
Calculemos
: derivamos
em relação a
. Partimos de
Derivando em
:
-
-
-
Logo
Passo 7
Calculemos
: derivamos
em relação a
. Partimos de
Derivando em
:
-
-
Somando:
Observe que
aqui — os dois resultados coincidem (isso costuma ocorrer quando as derivadas mistas são contínuas, resultado conhecido como teorema de igualdade das derivadas mistas).
Passo 8
Finalmente calculemos
: derivamos
em relação a
. Partimos de
Derivando em
:
-
-
Somando: