Questāo 1: [15 pontos] Resolva o problema de Dirichlet para a equaçāo da onda com termo fonte:
\begin{cases}u_{t t}=u_{x x}-10 & \text { se } 0<x<1 \text { e } t>0, \\\ u(0, t)=u(1, t)=0 & \text { se } t \geqslant 0, \\\ u(x, 0)=u_{t}(x, 0)=0 & \text { se } 0 \leqslant x \leqslant 1 .\end{cases}

Passo 1

O problema pede a função u(x,t) que satisfaça a equação da onda com termo fonte e condições de contorno e iniciais dadas. As informações importantes são:
  • Equação PDE: u_{t t}=u_{x x}-10\quad\text{para }0<x<1,\\ t>0.
  • Condições de Dirichlet na borda: u(0,t)=0,\qquad u(1,t)=0\quad\text{para }t\ge 0.
  • Condições iniciais: u(x,0)=0,\qquad u_t(x,0)=0\quad\text{para }0\le x\le1.
A tarefa é encontrar explicitamente u(x,t) que satisfaça tudo isso. Não vamos resolver nada ainda, apenas listei o que é dado e o que se pede.

Passo 2

Estratégia inicial (explicação didática): como a equação tem um termo fonte constante -10, é útil escrever u como soma de uma solução particular estacionária u_p(x) (dependendo só de x) e de uma solução v(x,t) da equação homogênea. Isto funciona porque a equação é linear: se u_p satisfaz a parte não homogênea sem dependência em t, então v=u-u_p satisfará uma equação homogênea mais simples. Vamos portanto procurar u_p(x) tal que u_{p,tt}=0 e
0 = u_{p}''(x)-10,
ou seja
u_{p}''(x)=10.
Integramos duas vezes: primeiro \,u_p'(x)=10x+C_1, depois \,u_p(x)=5x^2+C_1 x + C_2. Aplicando as condições de contorno (são válidas também para u_p porque queremos que v tenha as mesmas condições homogêneas):
u_p(0)=0 \Rightarrow C_2=0,
u_p(1)=0 \Rightarrow 5(1)^2 + C_1\cdot 1 + 0 =0 \Rightarrow C_1=-5.
Logo obtemos a solução particular estacionária:
u_p(x)=5x^2-5x.
Breve comentário: escolhemos u_p dependente só de x porque o termo fonte é constante; isso simplifica bastante.

Passo 3

Agora definimos v(x,t)=u(x,t)-u_p(x)\). Substituindo na equação original e usando que \(u_p''-10=0\), obtemos a equação homogênea para \(v\): \[v_{t t}=v_{x x}\quad\text{para }0<x<1,\\ t>0.
As condições de contorno para v ficam homogêneas:
v(0,t)=u(0,t)-u_p(0)=0-0=0,\qquad v(1,t)=0-0=0.
As condições iniciais para v vêm de u(x,0)=0 e u_t(x,0)=0:
v(x,0)=u(x,0)-u_p(x)= -u_p(x),
v_t(x,0)=u_t(x,0)-0=0.
Resumindo, v satisfaz
\begin{cases} v_{t t}=v_{x x},\\\ v(0,t)=v(1,t)=0,\\\ v(x,0)=-u_p(x),\quad v_t(x,0)=0. \end{cases}
Então a resolução do problema original reduz à resolução desse problema homogêneo para (v].

Passo 4

Método para resolver v\) (explicação didática): em problemas de domínio \([0,1]\) com condições Dirichlet homogêneas, é natural expandir \(v\) em séries de autovetores da equação espacial associada (separação de variáveis). As funções próprias que satisfazem \(\varphi''+\lambda\varphi=0\) com \(\varphi(0)=\varphi(1)=0\) são \(\phi_n(x)=\sin(n\pi x)\) com autovalores \(\lambda_n=(n\pi)^2\), \(n=1,2,\dots\). Essas funções são ortogonais em \([0,1]\) e verificam \[\int_0^1 \sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\,dx = \begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \frac{1}{2},& n=m. \end{cases}
A solução geral do problema homogêneo para v\] pode ser escrita como série: \[v(x,t)=\sum_{n=1}^\infty \bigl(A_n\cos(n\pi t)+B_n\sin(n\pi t)\bigr)\sin(n\pi x).\] Agora aplicamos as condições iniciais. De \(v_t(x,0)=0 segue B_n=0 para todo n. De v(x,0)=-u_p(x) segue
\sum_{n=1}^\infty A_n\sin(n\pi x) = -u_p(x).
Para obter A_n usamos a ortogonalidade: multiplicando ambos os lados por \sin(n\pi x) e integrando em [0,1], obtemos
A_n \int_0^1 \sin^2(n\pi x)\,dx = -\int_0^1 u_p(x)\sin(n\pi x)\,dx.
Usando \int_0^1 \sin^2(n\pi x)\,dx=\tfrac12, concluímos a fórmula das coeficientes:
A_n = -2\int_0^1 u_p(x)\sin(n\pi x)\,dx.
Portanto só precisamos calcular essas integrais.]

Passo 5

Cálculo do coeficiente A_n. Defina a=n\pi. Vamos calcular
I_n=\int_0^1 u_p(x)\sin(a x)\,dx=\int_0^1 (5x^2-5x)\sin(a x)\,dx =5\int_0^1 x^2\sin(a x)\,dx -5\int_0^1 x\sin(a x)\,dx.
Chamemos
J_1=\int_0^1 x^2\sin(a x)\,dx,\qquad J_2=\int_0^1 x\sin(a x)\,dx.
Calcule J_1 por partes (duas vezes). Primeiro passo:
J_1 = \left[-\frac{x^2\cos(a x)}{a}\right]_0^1 + \frac{2}{a}\int_0^1 x\cos(a x)\,dx = -\frac{\cos a}{a} + \frac{2}{a}\int_0^1 x\cos(a x)\,dx.
Agora calcule \int_0^1 x\cos(a x)\,dx por partes:
\int_0^1 x\cos(a x)\,dx = \left[\frac{x\sin(a x)}{a}\right]_0^1 - \frac{1}{a}\int_0^1 \sin(a x)\,dx = \frac{\sin a}{a} + \frac{\cos a -1}{a^2}.
Logo
J_1 = -\frac{\cos a}{a} + \frac{2}{a}\left(\frac{\sin a}{a} + \frac{\cos a -1}{a^2}\right) = -\frac{\cos a}{a} + \frac{2\sin a}{a^2} + \frac{2(\cos a -1)}{a^3}.
Agora J_2 (uma integração por partes):
J_2=\int_0^1 x\sin(a x)\,dx = \left[-\frac{x\cos(a x)}{a}\right]_0^1 + \frac{1}{a}\int_0^1 \cos(a x)\,dx = -\frac{\cos a}{a} + \frac{\sin a}{a^2}.
Subtraindo:
J_1-J_2 = \left(-\frac{\cos a}{a} + \frac{2\sin a}{a^2} + \frac{2(\cos a -1)}{a^3}\right) - \left(-\frac{\cos a}{a} + \frac{\sin a}{a^2}\right) = \frac{\sin a}{a^2} + \frac{2(\cos a -1)}{a^3}.
Portanto
I_n = 5(J_1-J_2) = 5\left(\frac{\sin a}{a^2} + \frac{2(\cos a -1)}{a^3}\right) = \frac{5\sin a}{a^2} + \frac{10(\cos a -1)}{a^3}.
Mas como a=n\pi, temos \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^n. Assim a primeira parcela some e ficamos com
I_n = \frac{10\bigl((-1)^n -1\bigr)}{(n\pi)^3}.

Passo 6

Agora usamos A_n = -2 I_n\). Então \[A_n = -2\cdot \frac{10\bigl((-1)^n -1\bigr)}{(n\pi)^3} = -\frac{20\bigl((-1)^n -1\bigr)}{(n\pi)^3}.
Observe que (-1)^n-1=0 quando n é par e (-1)^n-1=-2 quando n é ímpar. Portanto
A_n = \begin{cases} 0, & n\text{ par},\\[4pt] \displaystyle \frac{40}{n^3\pi^3}, & n\text{ ímpar}. \end{cases}í
Além disso B_n=0\] por causa de \(v_t(x,0)=0.]

Passo 7

Finalmente escrevemos a solução completa. Lembrando que u(x,t)=u_p(x)+v(x,t) e que v(x,t)=\sum_{n=1}^\infty A_n\cos(n\pi t)\sin(n\pi x), obtemos
u(x,t)=5x^2-5x + \sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty} \frac{40}{n^3\pi^3}\cos(n\pi t)\sin(n\pi x).í
Podemos escrever a soma apenas sobre índices ímpares, por exemplo n=2k+1, k=0,1,2,\dots, ficando
u(x,t)=5x^2-5x + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{40}{(2k+1)^3\pi^3}\cos\bigl((2k+1)\pi t\bigr)\sin\bigl((2k+1)\pi x\bigr).
Essa expressão satisfaz a equação PDE, as condições de contorno e as condições iniciais (verificáveis pelo desenvolvimento que fizemos).

Resposta

u(x,t)=5x^2-5x + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{40}{(2k+1)^3\pi^3}\cos\bigl((2k+1)\pi t\bigr)\sin\bigl((2k+1)\pi x\bigr).

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