Questāo 1: [15 pontos] Resolva o problema de Dirichlet para a equaçāo da onda com termo fonte:
\begin{cases}u_{t t}=u_{x x}-10 & \text { se } 0<x<1 \text { e } t>0, \\\ u(0, t)=u(1, t)=0 & \text { se } t \geqslant 0, \\\ u(x, 0)=u_{t}(x, 0)=0 & \text { se } 0 \leqslant x \leqslant 1 .\end{cases}
Passo 1
O problema pede a função u(x,t) que satisfaça a equação da onda com termo fonte e condições de contorno e iniciais dadas. As informações importantes são:
A tarefa é encontrar explicitamente u(x,t) que satisfaça tudo isso. Não vamos resolver nada ainda, apenas listei o que é dado e o que se pede.
Passo 2
Estratégia inicial (explicação didática): como a equação tem um termo fonte constante -10, é útil escrever u como soma de uma solução particular estacionária u_p(x) (dependendo só de x) e de uma solução v(x,t) da equação homogênea. Isto funciona porque a equação é linear: se u_p satisfaz a parte não homogênea sem dependência em t, então v=u-u_p satisfará uma equação homogênea mais simples. Vamos portanto procurar u_p(x) tal que u_{p,tt}=0 e
0 = u_{p}''(x)-10,
ou seja
u_{p}''(x)=10.
Integramos duas vezes: primeiro \,u_p'(x)=10x+C_1, depois \,u_p(x)=5x^2+C_1 x + C_2. Aplicando as condições de contorno (são válidas também para u_p porque queremos que v tenha as mesmas condições homogêneas):
Breve comentário: escolhemos u_p dependente só de x porque o termo fonte é constante; isso simplifica bastante.
Passo 3
Agora definimos v(x,t)=u(x,t)-u_p(x)\). Substituindo na equação original e usando que \(u_p''-10=0\), obtemos a equação homogênea para \(v\):
\[v_{t t}=v_{x x}\quad\text{para }0<x<1,\\ t>0.
As condições de contorno para v ficam homogêneas:
v(0,t)=u(0,t)-u_p(0)=0-0=0,\qquad v(1,t)=0-0=0.
As condições iniciais para v vêm de u(x,0)=0 e u_t(x,0)=0:
Então a resolução do problema original reduz à resolução desse problema homogêneo para (v].
Passo 4
Método para resolver v\) (explicação didática): em problemas de domínio \([0,1]\) com condições Dirichlet homogêneas, é natural expandir \(v\) em séries de autovetores da equação espacial associada (separação de variáveis). As funções próprias que satisfazem \(\varphi''+\lambda\varphi=0\) com \(\varphi(0)=\varphi(1)=0\) são \(\phi_n(x)=\sin(n\pi x)\) com autovalores \(\lambda_n=(n\pi)^2\), \(n=1,2,\dots\). Essas funções são ortogonais em \([0,1]\) e verificam
\[\int_0^1 \sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\,dx = \begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \frac{1}{2},& n=m. \end{cases}
A solução geral do problema homogêneo para v\] pode ser escrita como série:
\[v(x,t)=\sum_{n=1}^\infty \bigl(A_n\cos(n\pi t)+B_n\sin(n\pi t)\bigr)\sin(n\pi x).\]
Agora aplicamos as condições iniciais. De \(v_t(x,0)=0 segue B_n=0 para todo n. De v(x,0)=-u_p(x) segue
\sum_{n=1}^\infty A_n\sin(n\pi x) = -u_p(x).
Para obter A_n usamos a ortogonalidade: multiplicando ambos os lados por \sin(n\pi x) e integrando em [0,1], obtemos