Exercício 7 Determine, se existir, o valor de para que cada uma das funções abaixo sejam contínuas.
Passo 1
O enunciado define a função por partes e pede que ela seja contínua em todo ponto, mas o único ponto de possível descontinuidade é x=1. Vamos usar o conceito de continuidade que exige que o limite à esquerda em x=1, o limite à direita em x=1 e o valor da função em x=1 coincidam.
Passo 2
Para x<1 temos a expressão |x^2+2x-3|/(x-1). Primeiro fatoramos o polinômio interno:
x^2+2x-3=(x-1)(x+3)
Passo 3
Para x<1 (próximo de 1) vemos que x-1<0 e x+3>0, logo (x-1)(x+3)<0 e
|x^2+2x-3|=-(x^2+2x-3)=-(x-1)(x+3)
Passo 4
Assim, para x<1:
|x^2+2x-3|x-1=-(x-1)(x+3)x-1=-(x+3)=-x-3
Passo 5
Logo o limite à esquerda em x→1⁻ é
limxto1^-f(x)=-(1)-3=-4
Passo 6
Para x≥1 a definição é f(x)=x+c, então o valor em x=1 (e o limite à direita) é f(1)=1+c. Para continuidade em x=1 precisamos:
limxto1^-f(x)=f(1)=1+c
Passo 7
Substituindo o limite à esquerda = -4, obtemos:
1+c=-4
Passo 8
Dessa equação segue que c=-5. O valor comum de limite e de f(1) chamamos de L, então L=-4.