Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(1,0)
\int \frac{2 x+1}{x^{2}-1} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x+1}{x^{2}-1}\,\mathrm{d}x.
Informações importantes que temos:
  • O integrando é uma função racional, fração com polinômios no numerador e denominador.
  • O denominador é \,x^{2}-1=(x-1)(x+1)\, (tem raízes em x=1 e x=-1).
  • O numerador é \,2x+1.\n

Passo 2

Estratégia: observar se parte do numerador é a derivada do denominador — isso costuma simplificar muito. Calcular a derivada de x^{2}-1:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(x^{2}-1\big)=2x.
Percebe que 2x aparece no numerador. Então podemos decompor o numerador em duas partes:
2x+1 = 2x + 1,
e escrever a integral como soma de duas integrais:
\int \frac{2x+1}{x^{2}-1}\,\mathrm{d}x = \int \frac{2x}{x^{2}-1}\,\mathrm{d}x + \int \frac{1}{x^{2}-1}\,\mathrm{d}x.
Essa divisão é útil porque a primeira parcela tem a forma \dfrac{f'(x)}{f(x)} com f(x)=x^{2}-1. Vou resolver cada parcela separadamente.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int \frac{2x}{x^{2}-1}\,\mathrm{d}x.
Lembrete de teoria (útil na prova): sempre que tivermos \dfrac{f'(x)}{f(x)}, a primitiva é \ln|f(x)| (pois \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}). Aqui f(x)=x^{2}-1 e f'(x)=2x. Portanto
\int \frac{2x}{x^{2}-1}\,\mathrm{d}x = \ln\big|x^{2}-1\big| + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-1}\,\mathrm{d}x usando frações parciais.
Primeiro decompor
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando por (x-1)(x+1) obtemos
1 = A(x+1) + B(x-1).
Escolhendo valores de x ou comparando coeficientes:
  • Para x=1: 1 = A(2) + B(0) A=\tfrac{1}{2}.
  • Para x=-1: 1 = A(0) + B(-2) B=-\tfrac{1}{2}.
Logo
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}.

Passo 5

Integrar a decomposição encontrada:
\int \frac{1}{x^{2}-1}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}\,\mathrm{d}x - \frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}\,\mathrm{d}x.
Usando \int \frac{1}{x-a}\,\mathrm{d}x=\ln|x-a|, obtemos
\int \frac{1}{x^{2}-1}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C_2 = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C_2,
com C_2 constante.

Passo 6

Juntar as duas partes (Passo 3 e Passo 5). Somando as primitivas e agrupando constantes:
\int \frac{2x+1}{x^{2}-1}\,\mathrm{d}x = \ln\big|x^{2}-1\big| + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C.
Podemos simplificar a expressão logarítmica usando \ln|x^{2}-1|=\ln|x-1|+\ln|x+1|:
\ln|x^{2}-1|+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| = \left(1+\frac{1}{2}\right)\ln|x-1|+\left(1-\frac{1}{2}\right)\ln|x+1| = \frac{3}{2}\ln|x-1|+\frac{1}{2}\ln|x+1|.
Ambas formas estão corretas; a seguir deixo a forma final simplificada.

Resposta

\frac{3}{2}\ln|x-1|+\frac{1}{2}\ln|x+1|+C

Exercícios relacionados