Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações importantes que temos:
- O integrando é uma função racional, fração com polinômios no numerador e denominador.
- O denominador é
(tem raízes em e ). - O numerador é
.\n
Passo 2
Estratégia: observar se parte do numerador é a derivada do denominador — isso costuma simplificar muito. Calcular a derivada de
:
Percebe que
aparece no numerador. Então podemos decompor o numerador em duas partes:
e escrever a integral como soma de duas integrais:
Essa divisão é útil porque a primeira parcela tem a forma
com
. Vou resolver cada parcela separadamente.
Passo 3
Calcular
.
Lembrete de teoria (útil na prova): sempre que tivermos
, a primitiva é
(pois
). Aqui
e
. Portanto
onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Calcular
usando frações parciais.
Primeiro decompor
Multiplicando por
obtemos
Escolhendo valores de
ou comparando coeficientes:
- Para
: → . - Para
: → .
Logo
Passo 5
Integrar a decomposição encontrada:
Usando
, obtemos
com
constante.
Passo 6
Juntar as duas partes (Passo 3 e Passo 5). Somando as primitivas e agrupando constantes:
Podemos simplificar a expressão logarítmica usando
:
Ambas formas estão corretas; a seguir deixo a forma final simplificada.