Exercício 5 - Determine e faça um esboço do domínio das funções reais de duas variáveis reais abaixo:
g(x, y)=\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}}}+\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
g(x,y)=\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}}}+\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}
que é uma função de duas variáveis. Para determinar o domínio, precisamos garantir que:
  1. Não haja divisão por zero em \sqrt{x^{2}}.
  2. O radicando de \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} seja não negativo.

Passo 2

Analisando \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}}}: \sqrt{x^{2}}=|x| está definida para todo x, mas como é denominador, não podemos ter |x|=0. Logo x \neq 0.

Passo 3

Analisando \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}, exigimos
4 - x^{2} - y^{2} \ge 0
ou seja
x^{2} + y^{2} \le 4.

Passo 4

Combinando as duas condições, obtemos
\begin{cases} x^{2} + y^{2} \le 4,\\\ x \neq 0. \end{cases}
Geometricamente, é o disco de raio 2 centrado na origem, incluindo a fronteira, mas excluindo todos os pontos do eixo y (onde x=0). Assim temos dois semidiscos (o de x>0 e o de x<0) fechados pela borda circular, porém sem a linha vertical do diâmetro.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\;x\neq 0\}.

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