Exercício 3.3: Determine as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} cujas transformadas de Fourier são dadas por:
\quad F(\omega)=\frac{1}{(1+i \omega)(2+i \omega)};

Passo 1

O enunciado pede a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} cuja transformada de Fourier
F(\omega)=\frac{1}{(1+i\omega)(2+i\omega)}
é dada. Aqui o conteúdo é usar a transformada inversa de Fourier e a propriedade de transformada de funções exponenciais multiplicadas pelo degrau unitário.

Passo 2

Lembramos que, para a>0,
\int_{0}^{\infty}e^{-a t}e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{a+i\omega}.
Isto significa que, sob a convenção
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt,
temos
\mathcal{F}\{e^{-a t}u(t)\}(\omega)=\frac{1}{a+i\omega}.

Passo 3

Fazendo frações parciais em
\frac{1}{(1+i\omega)(2+i\omega)}
procuramos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{1}{(1+i\omega)(2+i\omega)} =\frac{A}{1+i\omega}+\frac{B}{2+i\omega}.
Temos
A(2+i\omega)+B(1+i\omega)=1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 2A+B=1,\\\ A+B=0, \end{cases}
cuja solução é A=1\], \(B=-1. Logo
F(\omega) =\frac{1}{1+i\omega}-\frac{1}{2+i\omega}.

Passo 4

Pela linearidade da transformada inversa e usando o par emparelhado em cada termo, obtemos
f(t) =\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\}(t) =\mathcal{F}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{1+i\omega}\bigr\}(t) -\mathcal{F}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{2+i\omega}\bigr\}(t).
Como \mathcal{F}^{-1}\{1/(a+i\omega)\}(t)=e^{-a t}u(t) para a>0, vem
f(t)=e^{-1\cdot t}u(t)-e^{-2\cdot t}u(t)=\bigl(e^{-t}-e^{-2t}\bigr)u(t).

Resposta

A função é
f(t)=\bigl(e^{-t}-e^{-2t}\bigr)u(t),
onde u(t) é o degrau unitário.

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