Exercício 3.3: Determine as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} cujas transformadas de Fourier são dadas por:
F(\omega)=\frac{i \omega}{1+\omega^{2}} ;

Passo 1

O enunciado pede para achar f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} cuja transformada de Fourier \displaystyle \mathcal{F}\{f\}(\omega)=F(\omega)=\frac{i\,\omega}{1+\omega^{2}}.
Vamos usar a transformada inversa e a propriedade que relaciona derivada no tempo a multiplicação por i\omega no domínio da frequência.

Passo 2

Conhecemos o par canônico
\mathcal{F}\{e^{-|t|}\}(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|t|}e^{-i\omega t}\,dt =\frac{2}{1+\omega^{2}}.
Daí, pela fórmula de inversão
\mathcal{F}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{1+\omega^{2}}\Bigr\}(t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\omega t}}{1+\omega^{2}}\,d\omega =\frac{1}{2}e^{-|t|}.

Passo 3

Usamos a propriedade
\mathcal{F}\{g'(t)\}(\omega)=i\omega\,G(\omega),
onde G(\omega)=\mathcal{F}\{g\}(\omega).
Aqui F(\omega)=i\omega\cdot\frac{1}{1+\omega^{2}}, então basta escolher
g(t)=\frac12e^{-|t|},
pois \mathcal{F}\{g\}(\omega)=1/(1+\omega^{2}). Logo
f(t)=g'(t).

Passo 4

Derivando g(t)=\tfrac12e^{-|t|} em cada ramo:
Para t>0, g(t)=\tfrac12e^{-t} e
g'(t)=-\tfrac12e^{-t}.
Para t<0, g(t)=\tfrac12e^{t} e
g'(t)=\tfrac12e^{t}.
Em termos da função sinal, isso é
f(t)=g'(t) =-\frac12\,\mathrm{sgn}(t)\,e^{-|t|}.

Resposta

f(t)=-\tfrac12\,\mathrm{sgn}(t)\,e^{-|t|},
ou, de forma equivalente,
f(t)= \begin{cases} -\tfrac12e^{-t},&t>0,\\\ \tfrac12e^{t},&t<0. \end{cases}

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