Exercício 8. Seja
um subconjunto aberto convexo. Prove as afirmações abaixo.
O supremo pontual de uma família qualquer de funções convexas
, indexadas por índices
e que possivelmente assumem valor
em algum ponto, é também uma função convexa, isto é,
é uma função convexa, que possivelmente assume valor
.
O supremo pontual de uma família qualquer de funções convexas
Passo 1
O enunciado considera um conjunto aberto convexo
e uma família de funções convexas
Define-se
Queremos mostrar que
é convexa no sentido estendido, ou seja, para todo
e todo
vale
Passo 2
Relembremos a definição de convexidade para funções que podem assumir
:
Uma função é convexa se, para todo
e todo
,
Uma função
Passo 3
Fixemos
e
. Como cada
é convexa, para todo
vale
Agora tomamos supremo em
no membro da esquerda e, usando que o supremo de somas é menor ou igual à soma de supremos, obtemos
Passo 4
Pelo que definimos,
e
Combining the inequality of Passo 3, we conclude
ou seja,
é convexa.
Resposta
A função
é convexa em
.