Exercício 8. Seja U subseteq R^n um subconjunto aberto convexo. Prove as afirmações abaixo.
O supremo pontual de uma família qualquer de funções convexas flambda: U longrightarrow R cup+infty, indexadas por índices lambda in Lambda e que possivelmente assumem valor +infty em algum ponto, é também uma função convexa, isto é,
f(x):=sup lambda in Lambda flambda(x)
é uma função convexa, que possivelmente assume valor +infty.

Passo 1

O enunciado considera um conjunto aberto convexo UsubseteqR^n e uma família de funções convexas
flambdacolon UtoRcup+infty, lambdainLambda
Define-se
f(x):=suplambdainLambdaflambda(x)
Queremos mostrar que f é convexa no sentido estendido, ou seja, para todo x,yin U e todo tin[0,1] vale
fl(tx+(1-t)yr);<=;t,f(x)+(1-t),f(y)

Passo 2

Relembremos a definição de convexidade para funções que podem assumir +infty:
Uma função gcolon UtoRcup+infty é convexa se, para todo x,yin U e todo tin[0,1],
gl(tx+(1-t)yr);<=;t,g(x)+(1-t),g(y)

Passo 3

Fixemos x,yin U e tin[0,1]. Como cada flambda é convexa, para todo lambdainLambda vale
flambdal(tx+(1-t)yr) ;<=; t,flambda(x)+(1-t),flambda(y)
Agora tomamos supremo em lambda no membro da esquerda e, usando que o supremo de somas é menor ou igual à soma de supremos, obtemos
suplambdaflambdal(tx+(1-t)yr) ;<=; suplambdal[t,flambda(x)+(1-t),flambda(y)r] ;<=; t,suplambdaflambda(x);+;(1-t),suplambdaflambda(y)

Passo 4

Pelo que definimos,
fl(tx+(1-t)yr) =suplambdaflambdal(tx+(1-t)yr)
e
t,f(x)+(1-t),f(y) = t,suplambdaflambda(x)+(1-t),suplambdaflambda(y)
Combining the inequality of Passo 3, we conclude
fl(tx+(1-t)yr);<=;t,f(x)+(1-t),f(y),
ou seja, f é convexa.

Resposta

A função
f(x)=suplambdainLambdaflambda(x)
é convexa em U.

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