Exercício 2.2. Determine a imagem da funçāo f : R R dada por f(x)=1x^2+1.

Passo 1

O enunciado pede a imagem (ou alcance) da função
fcolon RtoR, f(x)=1x^2+1
Vamos analisar como f(x) se comporta quando x varia em R, identificando seus valores máximo e mínimo e os limites em infinito.

Passo 2

Note que para todo xinR vale x^2>= 0, então
x^2+1 >= 1
e, portanto,
f(x) = 1x^2+1 <= 11 = 1
A igualdade ocorre exatamente quando x^2 = 0, i.e., em x = 0, de onde f(0) = 1. Logo, o valor máximo de f é 1.

Passo 3

Também x^2>=0 implica x^2+1>0 para todo x, logo
f(x)=1x^2+1>0
Isso mostra que f(x) nunca atinge zero, sendo sempre estritamente positiva.

Passo 4

Ao estudar o comportamento em infinito, obtemos
limxtopminfty1x^2+1=0
Portanto, embora f(x) não seja igual a zero, ela aproxima-se arbitrariamente de 0 quando lvert xrvert cresce. Pelo Teorema do Valor Intermediário (continuidade de f), todos os valores entre 0 e 1 são assumidos.

Passo 5

Combinando esses resultados, concluímos que os valores de f(x) percorrem todo o intervalo aberto abaixo de 1 até valores próximos de 0, mas sem atingir 0. Assim, a imagem é
(0,1]

Resposta

A imagem de f é (0,1].

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