Exercício 2.2. Determine a imagem da funçāo
:
dada por
.
Passo 1
O enunciado pede a imagem (ou alcance) da função
Vamos analisar como
se comporta quando
varia em
, identificando seus valores máximo e mínimo e os limites em infinito.
Passo 2
Note que para todo
vale
, então
e, portanto,
A igualdade ocorre exatamente quando
, i.e., em
, de onde
. Logo, o valor máximo de
é
.
Passo 3
Também
implica
para todo
, logo
Isso mostra que
nunca atinge zero, sendo sempre estritamente positiva.
Passo 4
Ao estudar o comportamento em infinito, obtemos
Portanto, embora
não seja igual a zero, ela aproxima-se arbitrariamente de
quando
cresce. Pelo Teorema do Valor Intermediário (continuidade de
), todos os valores entre
e
são assumidos.
Passo 5
Combinando esses resultados, concluímos que os valores de
percorrem todo o intervalo aberto abaixo de
até valores próximos de
, mas sem atingir
. Assim, a imagem é
Resposta
A imagem de
é
.