1. Seja
g(x)= x^2+2, & se, x<1 2 x+1, & se x >= 1
Mostre que g é derivável em p=1 e calcule g^prime(1). Esboce o gráfico de g.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
g(x)= x^2+2,&se x<1, 2x+1,&se x>=1,
e pede para mostrar que g é derivável em p=1 e calcular g'(1). Para isso vamos primeiro verificar a continuidade em x=1 e depois comparar as derivadas laterais.

Passo 2

Verificamos a continuidade em x=1. Do ramo à esquerda,
limxto1^-g(x) =limxto1^-(x^2+2) =1^2+2=3
Do ramo à direita,
limxto1^+g(x) =limxto1^+(2x+1) =2cdot1+1=3
Como g(1)=2cdot1+1=3, temos
limxto1g(x)=3=g(1),
logo g é contínua em x=1.

Passo 3

Calculamos as derivadas laterais em x=1. Para x<1, g(x)=x^2+2 e
g'-(1)=ddx(x^2+2)|x=1=2x|x=1=2
Para x>1, g(x)=2x+1 e
g'+(1)=ddx(2x+1)|x=1=2
Como g'-(1)=g'+(1)=2, concluímos que g é derivável em x=1 e
g'(1)=2

Passo 4

O esboço de g é a parte esquerda de parábola y=x^2+2 para x<1, terminando num círculo aberto em (1,3), e a reta y=2x+1 para x>=1, começando num ponto cheio em (1,3). Ambas se encontram em (1,3), garantindo continuidade e tangência comum no ponto.

Resposta

A função g é derivável em p=1 e
g'(1)=2

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