1. (Maximização de Lucro) Uma fábrica produz um item cuja receita total é dada por
R(x)=500 x-5 x^2,
e o custo total de produção é descrito por
C(x)=100 x+2000,
onde x é o número de unidades produzidas.
a) Determine a função lucro L(x) e explique seu significado em termos da receita e do custo.
b) Use a derivada para encontrar o número de unidades que maximiza o lucro da fábrica.
c) Interprete os resultados obtidos e discuta como essa análise pode orientar decisões de produção.

Passo 1

O enunciado dá a receita total
R(x)=500x-5x^2
e o custo total
C(x)=100x+2000,
sendo x o número de unidades produzidas. O objetivo é (a) formular a função lucro, que é a diferença entre receita e custo; (b) usar derivada para achar o x que maximiza o lucro; (c) interpretar esse resultado para orientar a produção.

Passo 2

O lucro L(x) é a diferença entre a receita e o custo. Assim,
L(x)=R(x)-C(x)=500x-5x^2-l(100x+2000r)=-5x^2+400x-2000

Passo 3

Para encontrar o ponto que maximiza L(x), calculamos a derivada
L'(x)=ddxl(-5x^2+400x-2000r)=-10x+400,
e igualamos a zero:
-10x+400=0 Longrightarrow x=40

Passo 4

Verificamos o caráter de máximo com a segunda derivada
L''(x)=ddx(-10x+400)=-10<0,
portanto L tem um máximo em x=40. O lucro máximo é
L(40)=-5cdot40^2+400cdot40-2000=6000

Passo 5

Produzir 40 unidades garante o lucro máximo de 6000. Se a fábrica produzir menos ou mais do que 40, o lucro será menor, pois a receita marginal cai abaixo do custo marginal. Assim, essa análise indica que a produção ótima é de 40 unidades para maximizar o retorno.

Resposta

(a) L(x)=-5x^2+400x-2000, que representa receita menos custo.
(b) A produção que maximiza o lucro é x=40 unidades.
(c) Produzir 40 unidades rende o lucro máximo de 6000; desviar desse ponto reduz o lucro, o que orienta a fábrica a planejar sua produção nesse valor.

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