- (Maximização de Lucro) Uma fábrica produz um item cuja receita total é dada por
e o custo total de produção é descrito por
onde
é o número de unidades produzidas.
a) Determine a função lucro
e explique seu significado em termos da receita e do custo.
b) Use a derivada para encontrar o número de unidades que maximiza o lucro da fábrica.
c) Interprete os resultados obtidos e discuta como essa análise pode orientar decisões de produção.
a) Determine a função lucro
b) Use a derivada para encontrar o número de unidades que maximiza o lucro da fábrica.
c) Interprete os resultados obtidos e discuta como essa análise pode orientar decisões de produção.
Passo 1
O enunciado dá a receita total
e o custo total
sendo
o número de unidades produzidas. O objetivo é (a) formular a função lucro, que é a diferença entre receita e custo; (b) usar derivada para achar o
que maximiza o lucro; (c) interpretar esse resultado para orientar a produção.
Passo 2
O lucro
é a diferença entre a receita e o custo. Assim,
Passo 3
Para encontrar o ponto que maximiza
, calculamos a derivada
e igualamos a zero:
Passo 4
Verificamos o caráter de máximo com a segunda derivada
portanto
tem um máximo em
. O lucro máximo é
Passo 5
Produzir
unidades garante o lucro máximo de
. Se a fábrica produzir menos ou mais do que
, o lucro será menor, pois a receita marginal cai abaixo do custo marginal. Assim, essa análise indica que a produção ótima é de
unidades para maximizar o retorno.
Resposta
(a)
, que representa receita menos custo.
(b) A produção que maximiza o lucro é unidades.
(c) Produzir unidades rende o lucro máximo de
; desviar desse ponto reduz o lucro, o que orienta a fábrica a planejar sua produção nesse valor.
(b) A produção que maximiza o lucro é
(c) Produzir