1. (Controle de Poluentes) Uma usina monitora a concentração de um poluente em um rio próximo por litro, através da função aproximada:
C(t)=50-10 ln (t+1),
onde C(t) é a concentração no tempo t (em horas). Determine como a taxa de variação da concentração muda ao longo do tempo e explique o que isso significa para o controle da poluição.

Passo 1

O enunciado dá a concentração de um poluente em função do tempo
C(t)=50 - 10ln(t+1)
e pede para determinar como a taxa de variação dessa concentração muda ao longo do tempo. O conteúdo aqui é cálculo de derivada e interpretação do seu comportamento.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de C(t) em relação a t. Como
C(t)=50 - 10ln(t+1),
usa-se a regra
ddtl[ln(t+1)r]=1t+1
Logo,
C'(t)=0 - 10cdot1t+1 =-10t+1

Passo 3

Analisando C'(t)=-10/(t+1):
  • Para todo t>=0, t+1>0, logo C'(t)<0. Isso significa que a concentração está sempre diminuindo.
  • Conforme t cresce, t+1 aumenta e llvert C'(t)rrvert=10t+1 diminui. Ou seja, o ritmo de queda da concentração fica cada vez mais lento.

Passo 4

Em termos de controle de poluição, isso quer dizer que logo após o início da descarga o poluente se dilui ou é removido rapidamente, mas à medida que o tempo passa a eficiência desse processo diminui e a redução da concentração se torna mais lenta. Para manter a concentração sempre em níveis aceitáveis, pode ser necessário intensificar medidas de tratamento ou aumentar a taxa de renovação da água conforme o ritmo natural de queda desacelera.

Resposta

A taxa de variação é
C'(t)=-10t+1,
que é sempre negativa (concentração decrescente) e cujo valor absoluto diminui com o tempo (redução fica cada vez mais lenta).

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