- (Controle de Poluentes) Uma usina monitora a concentração de um poluente em um rio próximo por litro, através da função aproximada:
onde
é a concentração no tempo
(em horas). Determine como a taxa de variação da concentração muda ao longo do tempo e explique o que isso significa para o controle da poluição.
Passo 1
O enunciado dá a concentração de um poluente em função do tempo
e pede para determinar como a taxa de variação dessa concentração muda ao longo do tempo. O conteúdo aqui é cálculo de derivada e interpretação do seu comportamento.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Como
usa-se a regra
Logo,
Passo 3
Analisando
:
- Para todo
, , logo . Isso significa que a concentração está sempre diminuindo. - Conforme
cresce, aumenta e diminui. Ou seja, o ritmo de queda da concentração fica cada vez mais lento.
Passo 4
Em termos de controle de poluição, isso quer dizer que logo após o início da descarga o poluente se dilui ou é removido rapidamente, mas à medida que o tempo passa a eficiência desse processo diminui e a redução da concentração se torna mais lenta. Para manter a concentração sempre em níveis aceitáveis, pode ser necessário intensificar medidas de tratamento ou aumentar a taxa de renovação da água conforme o ritmo natural de queda desacelera.
Resposta
A taxa de variação é
que é sempre negativa (concentração decrescente) e cujo valor absoluto diminui com o tempo (redução fica cada vez mais lenta).