Exercício 5 Determine a, b e c para que \left[\begin{array}{ccc}a & 3 & 2 a \\\ c & 0 & -2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}b & -3 & -1 \\\\ 1 & 4 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 5 \\\\ 3 & 4 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os escalares a, b e c tais que a soma das duas matrizes
\begin{pmatrix} a & 3 & 2a\\\ c & 0 & -2 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix} b & -3 & -1\\\\ 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}
seja igual à matriz
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 5\\\\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é soma de matrizes e solução de sistema linear por igualdade de entradas.

Passo 2

Somamos termo a termo as matrizes:
\begin{pmatrix} a + b & 3 + (-3) & 2a + (-1)\\\ c + 1 & 0 + 4 & -2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b & 0 & 2a - 1\\\ c + 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Igualamos cada entrada à correspondente da matriz resultado:
\begin{cases} a + b = 2,\\\\ 2a - 1 = 5,\\\ c + 1 = 3. \end{cases}
As outras entradas já conferem automaticamente.

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação vem \,c = 3 - 1 = 2.
  • Da segunda equação segue \,2a = 6, logo \,a = 3.
  • Substituindo em a + b = 2 obtemos b = 2 - 3 = -1.

Resposta

a = 3, b = -1 e c = 2.

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