Exercício 7 Sejam as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 0 & -1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 7 & 3 \\\\ -4 & 5\end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\\\ 7 & 3 & 1 \\\\ -4 & 5 & \frac{1}{2}\end{array}\right] \quad D= \left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\\\ -4 & 6 & 5\end{array}\right] \quad E=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 7 & 3\end{array}\right] \quad F=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\\\ -1 & 3 & -2 \\\\ 4 & 4 & -4\end{array}\right] \quad G=\left[\begin{array}{cc}-\frac{3}{7} & \frac{1}{7} \\\\ 1 & 0\end{array}\right] \quad H=\left[\begin{array}{c}4 \\\\ -19 \\\\ 26\end{array}\right] Calcule os seguintes produtos de matrizes
C \cdot A

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto da matriz C pela matriz A. Aqui o conteúdo é multiplicação de matrizes, que se faz tomando produto escalar entre linhas de C e colunas de A.

Passo 2

Verificamos as dimensões: C é 3\times3 e A é 3\times2, logo o produto C A está definido e resulta numa matriz 3\times2. O elemento genérico desse produto é
(CA)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{3}C_{ik}\,A_{kj}.

Passo 3

Calculamos a primeira linha ( i=1) de CA. A primeira linha de C é (0,1,0).
Para a coluna 1 de A, (2,0,3):
(CA)_{11}=0\cdot2+1\cdot0+0\cdot3=0.
Para a coluna 2 de A, (1,-1,2):
(CA)_{12}=0\cdot1+1\cdot(-1)+0\cdot2=-1.
Portanto a primeira linha de CA é (0,\,-1).

Passo 4

Calculamos a segunda linha ( i=2) de CA. A segunda linha de C é (7,3,1).
Para a coluna 1 de A:
(CA)_{21}=7\cdot2+3\cdot0+1\cdot3=14+0+3=17.
Para a coluna 2 de A:
(CA)_{22}=7\cdot1+3\cdot(-1)+1\cdot2=7-3+2=6.
Assim, a segunda linha é (17,\,6).

Passo 5

Calculamos a terceira linha ( i=3) de CA. A terceira linha de C é \bigl(-4,5,\tfrac12\bigr).
Para a coluna 1 de A:
(CA)_{31}=-4\cdot2+5\cdot0+\tfrac12\cdot3=-8+0+1{,}5=-\tfrac{13}{2}.
Para a coluna 2 de A:
(CA)_{32}=-4\cdot1+5\cdot(-1)+\tfrac12\cdot2=-4-5+1=-8.
Logo, a terceira linha é \bigl(-\tfrac{13}{2},\,-8\bigr).

Resposta

CA = \begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 17 & 6\\\\ -\tfrac{13}{2} & -8 \end{pmatrix}

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