Exercício 4 Determine a e b para que a matriz \left[\begin{array}{ccc}2 & 4 & 2 a-b \\\ a+b & 3 & 0 \\\\ -1 & 0 & 5\end{array}\right] seja simétrica

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de a e b que fazem a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 2a-b\\\ a+b & 3 & 0\\\\ -1 & 0 & 5 \end{pmatrix}
ser simétrica. O conteúdo usado é que uma matriz A é simétrica se, e somente se, A_{ij}=A_{ji} para todos i,j.

Passo 2

Igualamos os elementos fora da diagonal principal na posição (1,2) e (2,1):
A_{12}=4,\quad A_{21}=a+b
Logo,
a + b = 4.

Passo 3

Igualamos os elementos nas posições (1,3) e (3,1):
A_{13}=2a - b,\quad A_{31}=-1
Logo,
2a - b = -1.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} a + b = 4,\\\\ 2a - b = -1, \end{cases}
somamos as duas equações para eliminar b:
(a+b)+(2a-b)=4+(-1)\quad\Longrightarrow\quad 3a=3\quad\Longrightarrow\quad a=1.
Substituindo a=1 em a+b=4 b=3.

Resposta

a=1, b=3

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