Exercício 2 Determine a matriz oposta, matriz transposta das seguintes matrizes
D=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\\\ 3 & 2 & -\sqrt{5} \\\\ 3 & 0 & 0 \\\\ 1 & -1 & -3 \\\\ 3 & 2 & -\sqrt{5} \\\\ 0 & 3 & -\frac{1}{7}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz D de dimensões 6\times3 e pede (a) a matriz oposta, que é -D, e (b) a matriz transposta, que é D^{T}. Vamos usar a definição de multiplicação de escalar por matriz para obter -D e a definição de transposta para trocar linhas por colunas.

Passo 2

Para obter a matriz oposta -D, basta multiplicar cada elemento de D por -1. Assim,
-D = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2\\\\ -3 & -2 & \sqrt{5}\\\\ -3 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 3\\\\ -3 & -2 & \sqrt{5}\\\\ 0 & -3 & \frac{1}{7} \end{pmatrix}.

Passo 3

Para obter a transposta D^{T}, trocamos linhas por colunas em D. Logo,
D^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 & 3 & 0\\\\ -1 & 2 & 0 & -1 & 2 & 3\\\\ 2 & -\sqrt{5} & 0 & -3 & -\sqrt{5} & -\frac{1}{7} \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz oposta é
-D = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2\\\\ -3 & -2 & \sqrt{5}\\\\ -3 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 3\\\\ -3 & -2 & \sqrt{5}\\\\ 0 & -3 & \frac{1}{7} \end{pmatrix},
e a matriz transposta é
D^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 & 3 & 0\\\\ -1 & 2 & 0 & -1 & 2 & 3\\\\ 2 & -\sqrt{5} & 0 & -3 & -\sqrt{5} & -\frac{1}{7} \end{pmatrix}.

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