Exercício 2 Determine a matriz oposta, matriz transposta das seguintes matrizes
B=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & -1 \\\\ 3 & 0 & 3 \\\\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 2 & -1 \\\\ 3 & 0 & 3 \\\\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right]
e pede (1) a matriz oposta de B e (2) a transposta de B. Vamos usar que a matriz oposta é obtida multiplicando cada entrada por -1 e que a matriz transposta troca linhas por colunas.

Passo 2

Para obter a matriz oposta -B, multiplicamos cada entrada de B por -1. Assim,
-B = \left[\begin{array}{ccc} -1\cdot 3 & -1\cdot 2 & -1\cdot(-1) \\\\ -1\cdot 3 & -1\cdot 0 & -1\cdot 3 \\\\ -1\cdot 1 & -1\cdot(-1) & -1\cdot 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -3 & -2 & 1 \\\\ -3 & 0 & -3 \\\\ -1 & 1 & -2 \end{array}\right].

Passo 3

Para calcular a transposta B^T, trocamos linhas por colunas: o elemento da linha i, coluna j de B vai para a linha j, coluna i de B^T. Logo,
B^T = \left[\begin{array}{ccc} B_{11} & B_{21} & B_{31} \\\ B_{12} & B_{22} & B_{32} \\\ B_{13} & B_{23} & B_{33} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 3 & 3 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 \\\\ -1 & 3 & 2 \end{array}\right].

Resposta

-B = \left[\begin{array}{ccc} -3 & -2 & 1 \\\\ -3 & 0 & -3 \\\\ -1 & 1 & -2 \end{array}\right]
B^T = \left[\begin{array}{ccc} 3 & 3 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 \\\\ -1 & 3 & 2 \end{array}\right]

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