Sejam f: X \rightarrow Y uma aplicação e A \subseteq X, sabemos que f(A)=\{y \in Y ; y=f(a), para algum a \in A\}. Para A, A_{1}, A_{2} \subseteq X e B \subseteq Y, mostre que:
Se A_{1} \subset A_{2}, então f\left(A_{1}\right) \subset f\left(A_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma função f: X \to Y.
  • Conjuntos A, A_{1}, A_{2} \subseteq X e B \subseteq Y.
  • A definição da imagem de um conjunto: f(A)=\{\,y\in Y \mid y=f(a)\text{ para algum }a\in A\,\}.
O que se pede: mostrar que, se A_{1}\subset A_{2}, então f(A_{1})\subset f(A_{2}).

Passo 2

Relembrando com calma a definição que vamos usar (isso é fundamental):
  • Dizer que y\in f(A) significa, por definição, que existe pelo menos um elemento a\in A tal que y=f(a).
    Aqui o papel da palavra “existe” é crucial: a imagem de A é o conjunto de todos os valores que f atinge ao aplicar f em algum elemento de A.

Passo 3

Também precisamos usar a definição de subconjunto:
  • Dizer que A_{1}\subset A_{2} significa que todo elemento de A_{1} também pertence a A_{2}. Em símbolos:
\forall x\\ (x\in A_{1}\Rightarrow x\in A_{2}).

Passo 4

Estratégia de prova (método elementar muito usado em teoria de conjuntos): prova por “element‑chasing”.
  • Pegamos um elemento arbitrário de f(A_{1}) e mostramos que esse mesmo elemento pertence a f(A_{2}).
  • Como o elemento foi arbitário, isso mostrará que todo elemento de f(A_{1}) pertence a f(A_{2}), que é precisamente a inclusão desejada.

Passo 5

Fazendo o element‑chasing passo a passo:
  1. Seja y um elemento arbitrário de f(A_{1}). Então, por definição de imagem, existe um elemento a\in A_{1} tal que y=f(a).
  2. Como A_{1}\subset A_{2}, desse mesmo a segue que a\in A_{2}.
  3. Agora, novamente pela definição de imagem, como existe a\in A_{2} tal que y=f(a), concluímos que y\in f(A_{2}).

Passo 6

Interpretação final do passo anterior: começando com um y qualquer de f(A_{1}) mostramos que y também pertence a f(A_{2}). Portanto todo elemento de f(A_{1}) está em f(A_{2}). Isso completa a prova por elemento.
Um exemplo simples para fixar a ideia: tome f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x^{2}, A_{1}=[0,1] e A_{2}=[0,2]. Como A_{1}\subset A_{2}, cada valor y que é quadrado de algum a\in[0,1] também é quadrado de um elemento de [0,2], logo f(A_{1})\subset f(A_{2}).

Resposta

\,f(A_{1})\subset f(A_{2})\,

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