Sejam
uma aplicação e
, sabemos que
, para algum
. Para
e
, mostre que:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma função
. - Conjuntos
e . - A definição da imagem de um conjunto:
.
O que se pede: mostrar que, se
, então
.
Passo 2
Relembrando com calma a definição que vamos usar (isso é fundamental):
- Dizer que
significa, por definição, que existe pelo menos um elemento tal que .
Aqui o papel da palavra “existe” é crucial: a imagem deé o conjunto de todos os valores que atinge ao aplicar em algum elemento de .
Passo 3
Também precisamos usar a definição de subconjunto:
- Dizer que
significa que todo elemento de também pertence a . Em símbolos:
Passo 4
Estratégia de prova (método elementar muito usado em teoria de conjuntos): prova por “element‑chasing”.
- Pegamos um elemento arbitrário de
e mostramos que esse mesmo elemento pertence a . - Como o elemento foi arbitário, isso mostrará que todo elemento de
pertence a , que é precisamente a inclusão desejada.
Passo 5
Fazendo o element‑chasing passo a passo:
- Seja
um elemento arbitrário de . Então, por definição de imagem, existe um elemento tal que . - Como
, desse mesmo segue que . - Agora, novamente pela definição de imagem, como existe
tal que , concluímos que .
Passo 6
Interpretação final do passo anterior: começando com um
qualquer de
mostramos que
também pertence a
. Portanto todo elemento de
está em
. Isso completa a prova por elemento.
Um exemplo simples para fixar a ideia: tome
,
,
e
. Como
, cada valor
que é quadrado de algum
também é quadrado de um elemento de
, logo
.