Sejam f: X \rightarrow Y uma aplicação e A \subseteq X, sabemos que f(A)=\{y \in Y ; y=f(a), para algum a \in A\}. Para A, A_{1}, A_{2} \subseteq X e B \subseteq Y, mostre que:
f\left(A_{1} \cap A_{2}\right) \subseteq f\left(A_{1}\right) \cap f\left(A_{2}\right). Construa um exemplo para mostrar porque a igualdade não ocorre sempre. Em que condições a igualdade ocorre?

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação f:X\to Y e subconjuntos A,A_{1},A_{2}\subseteq X e B\subseteq Y. O que se pede, em partes claras:
  • Mostrar que \;f\!\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\subseteq f\!\left(A_{1}\right)\cap f\!\left(A_{2}\right).
  • Construir um exemplo concreto em que a inclusão acima é estrita (ou seja, a igualdade não ocorre).
  • Dizer em que condições a igualdade \;f\!\left(A_{1}\cap A_{2}\right)=f\!\left(A_{1}\right)\cap f\!\left(A_{2}\right) ocorre, e justificar.
Dados relevantes (resumindo): f(A)=\{y\in Y \mid y=f(a)\text{ para algum }a\in A\}. Nada mais é dado; a resolução deve usar essa definição e argumentos elementares.

Passo 2

Prova da inclusão \;f\!\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\subseteq f\!\left(A_{1}\right)\cap f\!\left(A_{2}\right).
Começo lembrando a definição de imagem de um conjunto: para qualquer C\subseteq X,
f\text{(C)}=\{\,y\in Y \mid \exists c\in C\text{ tal que }y=f\text{(c)}\,\}.
Agora tomo um elemento arbitrário de f(A_{1}\cap A_{2}). Ou seja, suponha que
y\in f(A_{1}\cap A_{2}).
Pela definição de imagem existe algum x\in A_{1}\cap A_{2} tal que y=f(x). Como x\in A_{1}\cap A_{2}, automaticamente x\in A_{1} e x\in A_{2}. Então, novamente pela definição de imagem, y=f(x) com x\in A_{1} implica y\in f(A_{1}); e y=f(x) com x\in A_{2} implica y\in f(A_{2}). Portanto y\in f(A_{1})\cap f(A_{2}).
Como a escolha de y foi arbitrária dentro de f(A_{1}\cap A_{2}), concluímos
f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2}).
Isto termina a prova da inclusão. Intuitivamente: uma mesma pré-imagem x que pertence a ambos A_{1} e A_{2} produz um único valor f(x) que aparece em ambas as imagens; assim tudo que vem de A_{1}\cap A_{2} aparece em ambas as imagens.

Passo 3

Exemplo que mostra que a igualdade nem sempre ocorre (inclusão pode ser estrita).
Considere X=\{1,2\}, Y=\{a\} (um conjunto unitário) e defina f:X\to Y por
f(1)=a,\qquad f(2)=a.
Tome A_{1}=\{1\} e A_{2}=\{2\}. Então
A_{1}\cap A_{2}=\varnothing,
logo
f(A_{1}\cap A_{2})=f(\varnothing)=\varnothing.
Por outro lado
f(A_{1})=\{a\},\qquad f(A_{2})=\{a\},
então
f(A_{1})\cap f(A_{2})=\{a\}\cap\{a\}=\{a\}.
Assim
f(A_{1}\cap A_{2})=\varnothing \subsetneq \{a\}=f(A_{1})\cap f(A_{2}),
mostrando que a inclusão pode ser estrita. Intuição: valores iguais na imagem podem vir de pontos diferentes em X; então f(A_{1}) e f(A_{2}) podem compartilhar um valor que não tem pré-imagem comum em A_{1}\cap A_{2}.

Passo 4

Condições sob as quais a igualdade ocorre.
  1. Caso mais simples e importante (condição suficiente): se f é injetora então a igualdade vale.
Prova: suponha que f é injetora e tome y\in f(A_{1})\cap f(A_{2}). Então existem x_{1}\in A_{1} e x_{2}\in A_{2} tais que
y=f(x_{1})=f(x_{2}).
Pela injetividade segue x_{1}=x_{2}. Esse elemento comum pertence então a A_{1}\cap A_{2}. Consequentemente y=f(x_{1})\in f(A_{1}\cap A_{2}). Como y era arbitrário em f(A_{1})\cap f(A_{2}), obtemos
f(A_{1})\cap f(A_{2})\subseteq f(A_{1}\cap A_{2}).
Juntando com a inclusão já provada no Passo 2 segue a igualdade
f(A_{1}\cap A_{2})=f(A_{1})\cap f(A_{2}).
Observação: não é necessário que f seja injetora em todo X; basta que f seja injetora quando restrita ao conjunto A_{1}\cup A_{2} (ou, de modo equivalente, que dois pontos distintos de A_{1}\cup A_{2} não tenham a mesma imagem). A prova é idêntica usando apenas pré-imagens vindas de A_{1} e A_{2}.
  1. Outra situação que garante igualdade (casos triviais): se A_{1}\subseteq A_{2} então A_{1}\cap A_{2}=A_{1}, logo
f(A_{1}\cap A_{2})=f(A_{1})=f(A_{1})\cap f(A_{2}).
Analogamente se A_{2}\subseteq A_{1}.
  1. Caracterização necessária e suficiente (forma geral): a igualdade
f(A_{1}\cap A_{2})=f(A_{1})\cap f(A_{2})
ocorre exatamente quando a seguinte propriedade é verdadeira:
Para todo y\in Y, se existem x_{1}\in A_{1} e x_{2}\in A_{2} tais que f(x_{1})=f(x_{2})=y, então existe algum x\in A_{1}\cap A_{2} com f(x)=y.
Isto é uma reescrita direta da inclusão contrária: a condição diz que sempre que um valor y aparece em ambas as imagens, ele já vem de um mesmo ponto comum de A_{1} e A_{2}. A injetividade é uma hipótese suficiente que força essa propriedade, mas a propriedade pode ocorrer mesmo sem injetividade global — basta que, para as fibras f^{-1}(\{y\}) relevantes, a fibra que intersecta A_{1} e A_{2} contenha um elemento comum.

Resposta

f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2}).
Exemplo que mostra desigualdade possível: X=\{1,2\}, Y=\{a\}, f(1)=f(2)=a, A_{1}=\{1\}, A_{2}=\{2\}; então f(A_{1}\cap A_{2})=\varnothing e f(A_{1})\cap f(A_{2})=\{a\}.
A igualdade ocorre, por exemplo, se f é injetora (ou ao menos injetora em A_{1}\cup A_{2}); de forma mais geral a igualdade vale exatamente quando: sempre que y=f(x_{1})=f(x_{2}) com x_{1}\in A_{1} e x_{2}\in A_{2}, existe x\in A_{1}\cap A_{2} tal que f(x)=y.

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