Sejam
uma aplicação e
, sabemos que
, para algum
. Para
e
, mostre que:
. Construa um exemplo para mostrar porque a igualdade não ocorre sempre. Em que condições a igualdade ocorre?
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação
e subconjuntos
e
. O que se pede, em partes claras:
- Mostrar que
- Construir um exemplo concreto em que a inclusão acima é estrita (ou seja, a igualdade não ocorre).
- Dizer em que condições a igualdade
ocorre, e justificar.
Dados relevantes (resumindo):
. Nada mais é dado; a resolução deve usar essa definição e argumentos elementares.
Passo 2
Prova da inclusão
.
Começo lembrando a definição de imagem de um conjunto: para qualquer
,
Agora tomo um elemento arbitrário de
. Ou seja, suponha que
Pela definição de imagem existe algum
tal que
. Como
, automaticamente
e
. Então, novamente pela definição de imagem,
com
implica
; e
com
implica
. Portanto
.
Como a escolha de
foi arbitrária dentro de
, concluímos
Isto termina a prova da inclusão. Intuitivamente: uma mesma pré-imagem
que pertence a ambos
e
produz um único valor
que aparece em ambas as imagens; assim tudo que vem de
aparece em ambas as imagens.
Passo 3
Exemplo que mostra que a igualdade nem sempre ocorre (inclusão pode ser estrita).
Considere
,
(um conjunto unitário) e defina
por
Tome
e
. Então
logo
Por outro lado
então
Assim
mostrando que a inclusão pode ser estrita. Intuição: valores iguais na imagem podem vir de pontos diferentes em
; então
e
podem compartilhar um valor que não tem pré-imagem comum em
.
Passo 4
Condições sob as quais a igualdade ocorre.
- Caso mais simples e importante (condição suficiente): se
é injetora então a igualdade vale.
Prova: suponha que
é injetora e tome
. Então existem
e
tais que
Pela injetividade segue
. Esse elemento comum pertence então a
. Consequentemente
. Como
era arbitrário em
, obtemos
Juntando com a inclusão já provada no Passo 2 segue a igualdade
Observação: não é necessário que
seja injetora em todo
; basta que
seja injetora quando restrita ao conjunto
(ou, de modo equivalente, que dois pontos distintos de
não tenham a mesma imagem). A prova é idêntica usando apenas pré-imagens vindas de
e
.
- Outra situação que garante igualdade (casos triviais): se
então , logo
Analogamente se
.
- Caracterização necessária e suficiente (forma geral): a igualdade
ocorre exatamente quando a seguinte propriedade é verdadeira:
Para todo
, se existem
e
tais que
, então existe algum
com
.
Isto é uma reescrita direta da inclusão contrária: a condição diz que sempre que um valor
aparece em ambas as imagens, ele já vem de um mesmo ponto comum de
e
. A injetividade é uma hipótese suficiente que força essa propriedade, mas a propriedade pode ocorrer mesmo sem injetividade global — basta que, para as fibras
relevantes, a fibra que intersecta
e
contenha um elemento comum.
Resposta
Exemplo que mostra desigualdade possível:
A igualdade ocorre, por exemplo, se