Aqui y é tratado como constante. A derivada de 4x^{2} em relação a x é 8x. A derivada de -2xy em relação a x é -2y. A derivada de y^{2} em relação a x é 0. Logo
Para uma matriz 2\times2, se \det H>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}>0 então H é definida positiva e o ponto é mínimo local. Calculemos o determinante:
\det H = (8)(2)-(-2)^{2}=16-4=12>0,
e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=8>0. Portanto H é definida positiva e (0,0) é um mínimo local.
Mais: podemos reescrever a função completando quadrados para ver que é, na verdade, um mínimo global. Observação direta:
f(x,y)=4x^{2}-2xy+y^{2}=3x^{2}+(x-y)^{2},
o que é soma de quadrados não negativos. Assim f(x,y)\ge 0 para todos (x,y), com igualdade só quando x=0 e x-y=0, isto é, em (0,0). Logo (0,0) é mínimo global.]