Exercício 4.3 Determine os pontos críticos da função
3. f(x, y)=4 x^{2}-2 x y+y^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=4x^{2}-2xy+y^{2} e pede para determinar os pontos críticos dessa função.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=4x^{2}-2xy+y^{2}.
  • A pergunta é: quais pontos (x,y) tornam a função crítica (ou seja, onde o gradiente é zero ou as derivadas parciais não existem)?

Passo 2

Conceito necessário (bem mastigado): ponto crítico de uma função de duas variáveis.
  • Um ponto (x,y) é ponto crítico se as derivadas parciais de primeira ordem existem e o gradiente é o vetor zero. Ou seja, precisamos resolver o sistema
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
  • As derivadas parciais indicam a taxa de variação de f quando mudamos somente x ou somente y. Para cada uma, tratamos a outra variável como constante.
Agora vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=4x^{2}-2xy+y^{2}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{2}-2xy+y^{2}\bigr).
Aqui y é tratado como constante. A derivada de 4x^{2} em relação a x é 8x. A derivada de -2xy em relação a x é -2y. A derivada de y^{2} em relação a x é 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=8x-2y.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{2}-2xy+y^{2}\bigr).
Aqui x é tratado como constante. A derivada de 4x^{2} é 0. A derivada de -2xy em relação a y é -2x. A derivada de y^{2} é 2y. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=-2x+2y.

Passo 4

Resolver o sistema [\frac{\partial f}{\partial x}=0,\ \frac{\partial f}{\partial y}=0).
Temos o sistema
\begin{cases} 8x-2y=0,\\[4pt] -2x+2y=0. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da segunda equação -2x+2y=0\] isolamos \(y:
-2x+2y=0\quad\Rightarrow\quad 2y=2x\quad\Rightarrow\quad y=x.
  • Substituindo y=x na primeira equação 8x-2y=0:
8x-2(x)=0\quad\Rightarrow\quad 8x-2x=0\quad\Rightarrow\quad 6x=0\quad\Rightarrow\quad x=0.
  • Como y=x, segue y=0.
Portanto o único ponto que anula o gradiente é (x,y)=(0,0).]

Passo 5

Classificação (opcional, mas útil para a prova): saber que tipo de ponto crítico é (0,0).
  • Calcula-se a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas):
H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\\[4pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
  • Já temos \frac{\partial f}{\partial x}=8x-2y e \frac{\partial f}{\partial y}=-2x+2y. Portanto
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=8,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=-2,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2.
Logo
H=\begin{pmatrix}8 & -2\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix}.
  • Para uma matriz 2\times2, se \det H>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}>0 então H é definida positiva e o ponto é mínimo local. Calculemos o determinante:
\det H = (8)(2)-(-2)^{2}=16-4=12>0,
e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=8>0. Portanto H é definida positiva e (0,0) é um mínimo local.
  • Mais: podemos reescrever a função completando quadrados para ver que é, na verdade, um mínimo global. Observação direta:
f(x,y)=4x^{2}-2xy+y^{2}=3x^{2}+(x-y)^{2},
o que é soma de quadrados não negativos. Assim f(x,y)\ge 0 para todos (x,y), com igualdade só quando x=0 e x-y=0, isto é, em (0,0). Logo (0,0) é mínimo global.]

Resposta

(0,0)

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