Representar graficamente cada um dos conjuntos seguintes:
Passo 1
O enunciado pede: representar graficamente o conjunto
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Os elementos são pares ordenados
no plano. - A condição que define o conjunto é
.
A tarefa é desenhar no plano todas as posiçõesque satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Identificar a fronteira/linha crítica.
A igualdade associada à desigualdade é . Essa reta horizontal é a fronteira entre pontos que podem satisfazer
e os que não satisfazem. Portanto, ao desenhar, a reta
será o limite entre a região que vamos sombrear e a região que não pertence ao conjunto.
A igualdade associada à desigualdade é
Passo 3
Decidir se a reta
pertence ao conjunto.
Como a condição é estrita ( , e não
), os pontos com
não pertencem a
. Em desenho convencional:
Como a condição é estrita (
- se a fronteira NÃO está incluída, traça-se a reta como tracejada (ou com uma linha contínua e indicativo de que não está incluída), para mostrar que os pontos sobre
não pertencem ao conjunto; - se estivesse incluída (
), usaríamos linha sólida. Aqui, então, a reta deve ser desenhada tracejada.
Passo 4
Escolher de que lado da reta sombrear (acima ou abaixo).
Para saber em qual semiplano está , teste um ponto simples de cada lado:
Para saber em qual semiplano está
- Teste o ponto
. Substituindo: e é verdadeiro. Logo . - Teste o ponto
. Substituindo: é falso. Logo .
Conclusão: a região a ser sombreada é o semiplano acima da reta(o lado com maior que ).
Passo 5
Instrução prática para desenhar (faça na prova ou no papel agora):
- Desenhe dois eixos perpendiculares e marque o eixo vertical como
e o horizontal como . - Localize a altura
no eixo vertical: marque o ponto e desenhe uma reta horizontal passando por ele. - Desenhe essa reta horizontal como tracejada (linhas interrompidas) para indicar que ela NÃO pertence ao conjunto.
- Sombreie toda a região acima dessa reta (isto é, todas as pontos com coordenada
maior que ). Pode fazer setas ou hachura contínua para deixar claro que a região é ilimitada para cima e para os lados. - Opcional: assinale um ponto de exemplo dentro da região, por exemplo
, e escreva . Assinale um ponto na reta, por exemplo , e escreva .
Passo 6
Características importantes deste conjunto (úteis para entender e explicar na prova):
- É um semiplano aberto: “semiplano” porque é uma metade do plano separada por uma reta; “aberto” porque a fronteira
não está incluída. - É não limitado (unbounded): estende-se para cima e para os lados sem fim.
- É conexo: é uma região única sem partes separadas.
- Explicação intuitiva de abertura: para qualquer ponto
com , existe um pequeno disco ao redor desse ponto que também tem todas as suas coordenadas maiores que (basta escolher raio menor que ). Isso mostra que não há pontos isolados nem pontos da fronteira dentro do conjunto.
Passo 7
Resumo do que desenhar na resposta da prova (frases curtas e claras para justificar o desenho):
- Reta horizontal
traçada em linha tracejada (não incluída). - Região sombreada: todo o semiplano estrito acima da reta, isto é, todos os pontos com
. - Indicar um ponto de teste
e, se quiser, para justificar o lado sombreado.
Resposta
O conjunto é o semiplano aberto acima da reta
:
.