Representar graficamente cada um dos conjuntos seguintes:
C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / y>3\right\}

Passo 1

O enunciado pede: representar graficamente o conjunto
\displaystyle C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y>3\}.
Informações dadas:
  • Os elementos são pares ordenados (x,y) no plano.
  • A condição que define o conjunto é \;y>3.
    A tarefa é desenhar no plano todas as posições (x,y) que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Identificar a fronteira/linha crítica.
A igualdade associada à desigualdade é \;y=3. Essa reta horizontal é a fronteira entre pontos que podem satisfazer \;y>3 e os que não satisfazem. Portanto, ao desenhar, a reta \;y=3 será o limite entre a região que vamos sombrear e a região que não pertence ao conjunto.

Passo 3

Decidir se a reta \;y=3 pertence ao conjunto.
Como a condição é estrita ( >, e não \ge), os pontos com y=3 não pertencem a C. Em desenho convencional:
  • se a fronteira NÃO está incluída, traça-se a reta como tracejada (ou com uma linha contínua e indicativo de que não está incluída), para mostrar que os pontos sobre \;y=3 não pertencem ao conjunto;
  • se estivesse incluída ( y\ge3), usaríamos linha sólida. Aqui, então, a reta \;y=3 deve ser desenhada tracejada.

Passo 4

Escolher de que lado da reta sombrear (acima ou abaixo).
Para saber em qual semiplano está C, teste um ponto simples de cada lado:
  • Teste o ponto (0,4). Substituindo: y=4 e 4>3 é verdadeiro. Logo (0,4)\in C.
  • Teste o ponto (0,0). Substituindo: 0>3 é falso. Logo (0,0)\notin C.
    Conclusão: a região a ser sombreada é o semiplano acima da reta \;y=3 (o lado com y maior que 3).

Passo 5

Instrução prática para desenhar (faça na prova ou no papel agora):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares e marque o eixo vertical como y e o horizontal como x.
  2. Localize a altura y=3 no eixo vertical: marque o ponto (0,3) e desenhe uma reta horizontal passando por ele.
  3. Desenhe essa reta horizontal como tracejada (linhas interrompidas) para indicar que ela NÃO pertence ao conjunto.
  4. Sombreie toda a região acima dessa reta (isto é, todas as pontos com coordenada y maior que 3). Pode fazer setas ou hachura contínua para deixar claro que a região é ilimitada para cima e para os lados.
  5. Opcional: assinale um ponto de exemplo dentro da região, por exemplo (0,4), e escreva (0,4)\in C. Assinale um ponto na reta, por exemplo (0,3), e escreva (0,3)\notin C.

Passo 6

Características importantes deste conjunto (úteis para entender e explicar na prova):
  • É um semiplano aberto: “semiplano” porque é uma metade do plano separada por uma reta; “aberto” porque a fronteira \;y=3 não está incluída.
  • É não limitado (unbounded): estende-se para cima e para os lados sem fim.
  • É conexo: é uma região única sem partes separadas.
  • Explicação intuitiva de abertura: para qualquer ponto (x_0,y_0) com y_0>3, existe um pequeno disco ao redor desse ponto que também tem todas as suas coordenadas y maiores que 3 (basta escolher raio menor que y_0-3). Isso mostra que não há pontos isolados nem pontos da fronteira dentro do conjunto.

Passo 7

Resumo do que desenhar na resposta da prova (frases curtas e claras para justificar o desenho):
  • Reta horizontal \;y=3 traçada em linha tracejada (não incluída).
  • Região sombreada: todo o semiplano estrito acima da reta, isto é, todos os pontos com \;y>3.
  • Indicar um ponto de teste (0,4)\in C e, se quiser, (0,3)\notin C para justificar o lado sombreado.

Resposta

O conjunto é o semiplano aberto acima da reta y=3: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y>3\}.

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