Exercício 2.6.1 Determine os pontos de descontinuidade de cada uma das funções abaixo e faça um esboço do gráfico da mesma. Ainda, determine se estes pontos de descontinuidades são Removível ou Essencial. Nos casos onde a descontinuidade Removível redefina a função de forma que ela passe a ser contínua no ponto.
f(x)=(x-1)(x^2-x-12)x^2-5 x+4;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar os pontos de descontinuidade da função f(x) = (x-1)(x^2-x-12)x^2-5x+4 . Isso faz parte do estudo de funções racionais no cálculo, onde a gente analisa onde a função não é contínua. Precisamos identificar esses pontos de descontinuidade, verificar se são removíveis ou essenciais, e depois ajustar a função se for o caso de descontinuidade removível. Vamos usar fatoração para achar esses pontos e entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador da função para facilitar a identificação dos pontos problemáticos.
Numerador: (x-1)(x^2-x-12)
Vamos fatorar x^2-x-12 . Procuramos dois números que multiplicados dão -12 e somados dão -1. Esses números são -4 e 3.
Então, x^2-x-12 = (x-4)(x+3)
Portanto, o numerador fica: (x-1)(x-4)(x+3)
Denominador: x^2-5x+4
Fatorando, procuramos dois números que multiplicados dão 4 e somados dão -5. Esses são -1 e -4.
Então, x^2-5x+4 = (x-1)(x-4)

Passo 3

Agora, a função fatorada fica:
f(x) = (x-1)(x-4)(x+3)(x-1)(x-4)
Observamos que temos (x-1) e (x-4) no numerador e denominador, o que indica que, quando x = 1 ou x = 4 , o denominador se zera, e a função não está definida nesses pontos.

Passo 4

Para entender o tipo de descontinuidade, vamos simplificar a função cancelando os fatores comuns:
f(x) = cancel(x-1)cancel(x-4)(x+3)cancel(x-1)cancel(x-4) = x + 3 , para x neq 1 e x neq 4
A função simplificada é uma reta f(x) = x + 3 , válida para todos os x exceto 1 e 4.

Passo 5

Agora, analisamos os pontos x = 1 e x = 4 :
  • Em x = 1 : Após simplificar, o limite de f(x) quando x se aproxima de 1 é 1 + 3 = 4 . Porém, a função não está definida em x = 1 . Isso significa que há uma descontinuidade removível aqui. Podemos redefinir f(1) = 4 para tornar a função contínua nesse ponto.
  • Em x = 4 : Similarmente, o limite de f(x) quando x se aproxima de 4 é 4 + 3 = 7 . A função também não está definida em x = 4 , então temos outra descontinuidade removível. Redefinimos f(4) = 7 para tornar contínua nesse ponto.

Passo 6

Resumindo:
  • Pontos de descontinuidade: x = 1 e x = 4
  • Tipo de descontinuidade: Removível em ambos os pontos
  • Redefinição da função:
    • f(1) = 4
    • f(4) = 7

Resposta

Os pontos de descontinuidade da função f(x) = (x-1)(x^2-x-12)x^2-5x+4 são x = 1 e x = 4 . Ambos são descontinuidades removíveis. Ao redefinir a função nesses pontos como f(1) = 4 e f(4) = 7 , a função se torna contínua em todo o seu domínio.

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