Exercício 2.6.1 Determine os pontos de descontinuidade de cada uma das funções abaixo e faça um esboço do gráfico da mesma. Ainda, determine se estes pontos de descontinuidades são Removível ou Essencial. Nos casos onde a descontinuidade Removível redefina a função de forma que ela passe a ser contínua no ponto.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar os pontos de descontinuidade da função
. Isso faz parte do estudo de funções racionais no cálculo, onde a gente analisa onde a função não é contínua. Precisamos identificar esses pontos de descontinuidade, verificar se são removíveis ou essenciais, e depois ajustar a função se for o caso de descontinuidade removível. Vamos usar fatoração para achar esses pontos e entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador da função para facilitar a identificação dos pontos problemáticos.
Numerador:
Vamos fatorar
. Procuramos dois números que multiplicados dão -12 e somados dão -1. Esses números são -4 e 3.
Então,
Portanto, o numerador fica:
Denominador:
Fatorando, procuramos dois números que multiplicados dão 4 e somados dão -5. Esses são -1 e -4.
Então,
Passo 3
Agora, a função fatorada fica:
Observamos que temos
e
no numerador e denominador, o que indica que, quando
ou
, o denominador se zera, e a função não está definida nesses pontos.
Passo 4
Para entender o tipo de descontinuidade, vamos simplificar a função cancelando os fatores comuns:
A função simplificada é uma reta
, válida para todos os
exceto 1 e 4.
Passo 5
Agora, analisamos os pontos
e
:
-
Em
: Após simplificar, o limite de quando se aproxima de 1 é . Porém, a função não está definida em . Isso significa que há uma descontinuidade removível aqui. Podemos redefinir para tornar a função contínua nesse ponto. -
Em
: Similarmente, o limite de quando se aproxima de 4 é . A função também não está definida em , então temos outra descontinuidade removível. Redefinimos para tornar contínua nesse ponto.
Passo 6
Resumindo:
- Pontos de descontinuidade:
e - Tipo de descontinuidade: Removível em ambos os pontos
- Redefinição da função:
-
Resposta
Os pontos de descontinuidade da função
são
e
. Ambos são descontinuidades removíveis. Ao redefinir a função nesses pontos como
e
, a função se torna contínua em todo o seu domínio.