Resolva os PVI’s sabendo que são EDO’s não-exatas.
ly d x+(2 x y-e^-2 y) d y=0 y(1)=1

Passo 1

Temos o PVI dado pela EDO
y,dx + l(2xy - e^-2yr),dy = 0,
com condição inicial y(1)=1.
Conteúdo: equações diferenciais de primeira ordem não-exatas, fator integrante e método de equações exatas.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y)=y, N(x,y)=2xy - e^-2y,
e calculamos
partial Mpartial y=1, partial Npartial x=2y
Como 1 neq 2y, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que dependa apenas de y. Usamos a condição
1Ml(partial Npartial x-partial Mpartial yr) = 1yl(2y - 1r) =2 - 1y,
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mu(y)=exp!l(integrall(2 - tfrac1yr),dyr) =expl(2y - ln yr) =e^2yy

Passo 4

Multiplicamos a EDO por mu(y), obtendo
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy=0 com M^*=e^2y, N^*=2xe^2y-tfrac1y
Verifica-se
partial M^*partial y =2e^2y, partial N^*partial x =2e^2y,
logo é exata.

Passo 5

Construímos phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M^*=e^2y ;Longrightarrow; phi(x,y)=x,e^2y+h(y)
Então
partial phipartial y =2x,e^2y+h'(y) stackrel!=N^*=2x,e^2y-tfrac1y ;Longrightarrow; h'(y)=-tfrac1y ;Longrightarrow; h(y)=-ln y

Passo 6

A solução geral implícita é
phi(x,y)=x,e^2y-ln y=C

Passo 7

Usamos y(1)=1:
1cdot e^2cdot1-ln1=C ;Longrightarrow; C=e^2

Resposta

x,e^2y-ln y = e^2

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