Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(\frac{d y}{d x}=\frac{3 x+2 y}{3 x+2 y+2}, \quad y(-1)=-1)
(\frac{d y}{d x}=\frac{3 x+2 y}{3 x+2 y+2}, \quad y(-1)=-1)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com condição inicial
.
Este é um caso em que a expressão aparece repetida; por isso vamos usar uma substituição que torne a equação separável.
Este é um caso em que a expressão
Passo 2
Definimos
Diferenciando em relação a
temos
Como
, substituímos e obtemos
Passo 3
Agora escrevemos a equação de
na forma separável:
Integramos ambos os lados:
Fazendo a divisão
temos
Passo 4
Voltamos à variável
com
. A relação
fica
Multiplicando por
25 e reorganizando:
Usando
y(-1)=-1 :