Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(\frac{d y}{d x}=\frac{3 x+2 y}{3 x+2 y+2}, \quad y(-1)=-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx=3x+2y3x+2y+2,
com condição inicial y(-1)=-1.
Este é um caso em que a expressão (3x+2y) aparece repetida; por isso vamos usar uma substituição que torne a equação separável.

Passo 2

Definimos
u = 3x + 2y
Diferenciando em relação a x temos
dudx = 3 + 2,dydx
Como dydx = uu+2, substituímos e obtemos
dudx = 3 + 2,uu+2 = 3(u+2) + 2uu+2 = 5u + 6u+2

Passo 3

Agora escrevemos a equação de u na forma separável:
u+25u+6,du = dx
Integramos ambos os lados:
integral u+25u+6,du = integral dx
Fazendo a divisão
u+25u+6 = 15 + 4/55u+6,
temos
integral u+25u+6,du = integrall(15 + 4/55u+6r),du = u5 + 425lnlvert 5u+6rvert + C1 = x + C2

Passo 4

Voltamos à variável y com u=3x+2y. A relação u5 + 425lnlvert5u+6rvert = x + C2 fica
3x+2y5 + 425lnllvert 15x+10y+6rrvert = x + C2
Multiplicando por 25 e reorganizando:
15x+10y + 4lnllvert15x+10y+6rrvert = 25x + C3 ;Longrightarrow; 10y + 4lnlvert15x+10y+6rvert = 10x + C4 ;Longrightarrow; 5y + 2lnlvert15x+10y+6rvert = 5x + C
Usando y(-1)=-1:
5(-1) + 2lnlvert15(-1)+10(-1)+6rvert = -5 + 2ln(19) ;=;5(-1) + C ;Longrightarrow;C = 2ln(19)

Resposta

5y + 2 lnllvert15x + 10y + 6rrvert = 5x + 2 ln(19)

Exercícios relacionados