Exercício 0.8 Determine o subconjunto do plano complexo constituído pelos números complexos
tais que
seja um número positivo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o subconjunto do plano complexo formado pelos complexos
tais que
seja um número positivo.
Informações dadas e óbvias do enunciado:
\
é um número complexo qualquer.
\ “Número positivo” significa um número real estritamente maior que zero (ou seja, um real cuja parte imaginária é
e cuja parte real é
).
\ Queremos todos os
tais que, ao elevar ao cubo, o resultado seja um real positivo.
Informações dadas e óbvias do enunciado:
Passo 2
Vamos escrever
em forma polar (isso facilita muito potências). Sempre que temos um complexo não-nulo podemos escrever
onde
é o módulo (distância ao origem) e
é o argumento (ângulo do vetor no plano).
Explicando: é um número real não negativo;
é um número real que representa a direção de
. A forma exponencial
vem da fórmula de Euler.
Usando essa forma, para a potência temos a regra de De Moivre:
Explicando:
Usando essa forma, para a potência temos a regra de De Moivre:
Isso significa que o módulo se eleva ao cubo e o argumento é multiplicado por
.
Passo 3
Agora traduzimos a condição "
é um número positivo" em condições sobre
e
. Para
ser um número real positivo precisamos de duas coisas simultaneamente:
o fator angular
deve corresponder ao número real positivo
(ou seja, não pode produzir parte imaginária nem um sinal negativo), e
o módulo
deve ser estritamente positivo (pois se
então
, que não é positivo).
Detalhando (a): é um ponto na circunferência unitária; para ser exatamente
deve acontecer que
seja um múltiplo inteiro de
:
Detalhando (a):
Detalhando (b):
implica
. Note que
(ou seja
) não serve porque
não é positivo.
Passo 4
Resolvendo a congruência para
:
Como os argumentos são considerados módulo
, só obtémmos três direções distintas ao variar
: para
temos as três classes
Observação:
é equivalente a
(mesma direção apontando simetricamente abaixo do eixo real).
Passo 5
Concluímos que os
possíveis são exatamente os complexos com módulo positivo
e argumento igual a uma das três constantes acima. Em forma compacta:
Se quisermos escrever essas três retas em coordenadas cartesianas, usando
e
:
Ou seja, três semi-retas (ramos) que partem da origem e vão nas direções
,
e
, excluindo a origem.
Passo 6
Pequenos exemplos para fixar a intuição:
- Se
(ou seja ), então — serve. - Se
(ou seja ), então — serve. - Se
(ou seja ), então — não serve.