Exercício 0.8 Determine o subconjunto do plano complexo constituído pelos números complexos z tais que z^{3} seja um número positivo.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o subconjunto do plano complexo formado pelos complexos z tais que z^{3} seja um número positivo.
Informações dadas e óbvias do enunciado:
\;1.\ \;z é um número complexo qualquer.
\;2.\ “Número positivo” significa um número real estritamente maior que zero (ou seja, um real cuja parte imaginária é 0 e cuja parte real é >0).
\;3.\ Queremos todos os z tais que, ao elevar ao cubo, o resultado seja um real positivo.

Passo 2

Vamos escrever z em forma polar (isso facilita muito potências). Sempre que temos um complexo não-nulo podemos escrever
z = r e^{i\theta},
onde r=|z|\ge 0 é o módulo (distância ao origem) e \theta=\arg(z) é o argumento (ângulo do vetor no plano).
Explicando: r é um número real não negativo; \theta é um número real que representa a direção de z. A forma exponencial e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta vem da fórmula de Euler.
Usando essa forma, para a potência temos a regra de De Moivre:
z^{3} = (r e^{i\theta})^{3} = r^{3} e^{i 3\theta}.
Isso significa que o módulo se eleva ao cubo e o argumento é multiplicado por 3.

Passo 3

Agora traduzimos a condição " z^{3} é um número positivo" em condições sobre r e \theta. Para z^{3} ser um número real positivo precisamos de duas coisas simultaneamente:
\;a) o fator angular e^{i3\theta} deve corresponder ao número real positivo 1 (ou seja, não pode produzir parte imaginária nem um sinal negativo), e
\;b) o módulo r^{3} deve ser estritamente positivo (pois se r^{3}=0 então z^{3}=0, que não é positivo).
Detalhando (a): e^{i3\theta} é um ponto na circunferência unitária; para ser exatamente 1 deve acontecer que 3\theta seja um múltiplo inteiro de 2\pi:
3\theta = 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Detalhando (b): r^{3}>0 implica r>0. Note que r=0 (ou seja z=0) não serve porque 0^{3}=0 não é positivo.

Passo 4

Resolvendo a congruência para \theta:
\theta = \frac{2k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Como os argumentos são considerados módulo 2\pi, só obtémmos três direções distintas ao variar k: para k=0,1,2 temos as três classes
\theta = 0,\qquad \theta = \frac{2\pi}{3},\qquad \theta = \frac{4\pi}{3}.
Observação: \theta=\frac{4\pi}{3} é equivalente a \theta=-\frac{2\pi}{3} (mesma direção apontando simetricamente abaixo do eixo real).

Passo 5

Concluímos que os z possíveis são exatamente os complexos com módulo positivo r>0 e argumento igual a uma das três constantes acima. Em forma compacta:
\{\, r e^{i\frac{2k\pi}{3}} \mid r>0,\\ k=0,1,2 \,\}.
Se quisermos escrever essas três retas em coordenadas cartesianas, usando \cos e \sin:
\text{reta 1: }\{\, t(1+0i) = t \mid t>0\,\},
\text{reta 2: }\left\{\, t\Big(-\tfrac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\Big) \mid t>0\,\right\},
\text{reta 3: }\left\{\, t\Big(-\tfrac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\Big) \mid t>0\,\right\}.
Ou seja, três semi-retas (ramos) que partem da origem e vão nas direções 0, \tfrac{2\pi}{3} e \tfrac{4\pi}{3}, excluindo a origem.

Passo 6

Pequenos exemplos para fixar a intuição:
  • Se z=2 (ou seja r=2,\theta=0), então z^{3}=8>0 — serve.
  • Se z=e^{i2\pi/3} (ou seja r=1,\theta=2\pi/3), então z^{3}=e^{i2\pi}=1>0 — serve.
  • Se z=-1 (ou seja \theta=\pi), então z^{3}=-1 — não serve.

Resposta

\displaystyle \{\, r e^{i\frac{2k\pi}{3}} \mid r>0,\\ k=0,1,2 \,\}

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