Exercício 0.7 Determine seis números complexos tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar seis números complexos
tais que
Informações dadas: o lado direito é o número complexo
. A tarefa é encontrar todas as soluções complexas (devem ser seis, pois é uma equação da forma
).
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicadinho, passo a passo):
- Um número complexo
pode ser escrito em coordenadas polares como
onde
é o módulo e
é o argumento (ângulo). Aqui
vem da fórmula de Euler
.
- Ao elevar um número complexo em forma polar a uma potência inteira
vale
Isto significa que a potência só multiplica o ângulo por
e eleva o módulo à potência
.
- O argumento de um número complexo é definido módulo
: se é um argumento, também (com ) é argumento do mesmo número. Por isso, ao resolver equações envolvendo argumentos precisamos acrescentar .
Esses são os ingredientes que usamos para achar raízes complexas.
Passo 3
Vamos escrever o número
em forma polar.
- Módulo:
- Argumento: como
está no primeiro quadrante e a tangente é , um argumento principal é . Em geral os argumentos são .
Portanto, em forma polar:
Passo 4
Procura-se
tal que
. Escreva
em forma polar:
onde
e
é o argumento. Então
Igualando com a forma polar de
temos
Passo 5
Agora separam-se as partes módulo e argumento:
- Módulos:
. Como , tirando a sexta raiz real positiva,
Expliquei:
, então
.
- Argumentos: devemos ter
Daí
Como ângulos são definidos módulo
, escolhas diferentes de
que só diferem por múltiplos de
dão o mesmo ângulo. Portanto, as soluções distintas correspondem a
(seis valores distintos), o que gera as seis raízes da equação.
Passo 6
Escrevendo as seis raízes em forma trigonométrica:
Podemos também simplificar os ângulos para cada
. Calculando
para
obtemos:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Portanto as seis soluções são essas seis combinações (módulo
não muda nada).
Passo 7
Verificação rápida (para ver que o raciocínio fecha): para qualquer uma dessas
,
porque
. Então está tudo consistente.