Exercício 0.7 Determine seis números complexos tais que z^{6}=1+i.

Passo 1

O enunciado pede para determinar seis números complexos z tais que
z^{6}=1+i.
Informações dadas: o lado direito é o número complexo 1+i. A tarefa é encontrar todas as soluções complexas (devem ser seis, pois é uma equação da forma z^{6}=\text{constante}).

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicadinho, passo a passo):
  • Um número complexo z=x+iy pode ser escrito em coordenadas polares como
z = r(\cos\theta + i\sin\theta)=r e^{i\theta},
onde r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} é o módulo e \theta=\arg(z) é o argumento (ângulo). Aqui e^{i\theta} vem da fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
  • Ao elevar um número complexo em forma polar a uma potência inteira n vale
(re^{i\theta})^{n}=r^{n}e^{i n\theta}.
Isto significa que a potência só multiplica o ângulo por n e eleva o módulo à potência n.
  • O argumento de um número complexo é definido módulo 2\pi: se \theta é um argumento, também \theta+2\pi k (com k\in\mathbb{Z}) é argumento do mesmo número. Por isso, ao resolver equações envolvendo argumentos precisamos acrescentar 2\pi k.
Esses são os ingredientes que usamos para achar raízes complexas.

Passo 3

Vamos escrever o número 1+i em forma polar.
  • Módulo:
|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • Argumento: como 1+i está no primeiro quadrante e a tangente é 1/1=1, um argumento principal é \theta_{0}=\pi/4. Em geral os argumentos são \pi/4+2\pi k.
Portanto, em forma polar:
1+i=\sqrt{2}\,e^{i(\pi/4+2\pi k)}\quad(k\in\mathbb{Z}).

Passo 4

Procura-se z tal que z^{6}=1+i. Escreva z em forma polar:
z=\rho\,e^{i\varphi},
onde \rho=|z|\ge 0 e \varphi é o argumento. Então
z^{6}=\rho^{6}e^{i6\varphi}.
Igualando com a forma polar de 1+i temos
\rho^{6}e^{i6\varphi}=\sqrt{2}\,e^{i(\pi/4+2\pi k)}.

Passo 5

Agora separam-se as partes módulo e argumento:
  • Módulos: \rho^{6}=\sqrt{2}. Como \rho\ge0, tirando a sexta raiz real positiva,
\rho = (\sqrt{2})^{1/6} = 2^{1/12}.
Expliquei: \sqrt{2}=2^{1/2}, então (2^{1/2})^{1/6}=2^{1/12}.
  • Argumentos: devemos ter
6\varphi = \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Daí
\varphi = \frac{1}{6}\Big(\frac{\pi}{4}+2\pi k\Big)=\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{3}.
Como ângulos são definidos módulo 2\pi, escolhas diferentes de k que só diferem por múltiplos de 6 dão o mesmo ângulo. Portanto, as soluções distintas correspondem a k=0,1,2,3,4,5 (seis valores distintos), o que gera as seis raízes da equação.

Passo 6

Escrevendo as seis raízes em forma trigonométrica:
z_{k}=2^{1/12}\big(\cos\big(\tfrac{\pi}{24}+\tfrac{k\pi}{3}\big)+i\sin\big(\tfrac{\pi}{24}+\tfrac{k\pi}{3}\big)\big), \qquad k=0,1,2,3,4,5.
Podemos também simplificar os ângulos para cada k. Calculando \tfrac{\pi}{24}+\tfrac{k\pi}{3} para k=0,\dots,5 obtemos:
  • k=0:\\ \varphi=\tfrac{\pi}{24}.
  • k=1:\\ \varphi=\tfrac{\pi}{24}+\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{9\pi}{24}=\tfrac{3\pi}{8}.
  • k=2:\\ \varphi=\tfrac{17\pi}{24}.
  • k=3:\\ \varphi=\tfrac{25\pi}{24}.
  • k=4:\\ \varphi=\tfrac{33\pi}{24}=\tfrac{11\pi}{8}.
  • k=5:\\ \varphi=\tfrac{41\pi}{24}.
Portanto as seis soluções são essas seis combinações (módulo 2\pi não muda nada).

Passo 7

Verificação rápida (para ver que o raciocínio fecha): para qualquer uma dessas z_{k},
z_{k}^{6}=(2^{1/12})^{6}e^{i6\varphi}=2^{6/12}e^{i(\pi/4+2\pi k)}=2^{1/2}e^{i\pi/4}e^{i2\pi k}=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}=1+i,
porque e^{i2\pi k}=1. Então está tudo consistente.

Resposta

z=2^{1/12}\big(\cos(\tfrac{\pi}{24})+i\sin(\tfrac{\pi}{24})\big)
z=2^{1/12}\big(\cos(\tfrac{3\pi}{8})+i\sin(\tfrac{3\pi}{8})\big)
z=2^{1/12}\big(\cos(\tfrac{17\pi}{24})+i\sin(\tfrac{17\pi}{24})\big)
z=2^{1/12}\big(\cos(\tfrac{25\pi}{24})+i\sin(\tfrac{25\pi}{24})\big)
z=2^{1/12}\big(\cos(\tfrac{11\pi}{8})+i\sin(\tfrac{11\pi}{8})\big)
z=2^{1/12}\big(\cos(\tfrac{41\pi}{24})+i\sin(\tfrac{41\pi}{24})\big)

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