Exercício 2. Determine quais das seguintes equações diferenciais são separáveis. Para as que forem separáveis, identifique as funções
e
tais que
.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a equação diferencial abaixo é separável e, se for, identificar funções
e
tais que
A equação dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão do lado direito contém produtos e soma envolvendo
e . - Deve ser verificado se a expressão pode ser escrita como produto de uma função só de
por outra só de . - Há um ponto a observar no domínio: o denominador
anula‑se quando , então é uma singularidade óbvia.
Passo 2
O que significa “separável” (explicação didática): uma equação diferencial da forma
é separável se for possível escrever
com
dependendo somente de
e
dependendo somente de
. Se for separável, o procedimento padrão na prova é:
- Reescrever
. - Isolar os termos em
de um lado e os termos em do outro, ou seja escrever . - Integrar ambos os lados:
.
Vou aplicar isso aqui.
Passo 3
Manipulação algébrica para testar separabilidade: fatorar
no numerador da fração do enunciado.
Isso mostra o lado direito como produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
. Portanto a equação é separável.
Passo 4
Identificação explícita de
e
: comparando com
obtemos
Lembrete sobre domínio: esta identificação vale para pontos onde as expressões estão bem definidas, ou seja para
. Além disso existe a solução constante
(aquela que se perde se dividirmos por
), então sempre mencionar
como solução trivial.
Passo 5
(Para você saber como usar isso numa prova) Como se procede depois que se identifica
e
: separar variáveis e integrar. A equação fica
Agora integramos ambos os lados.
Passo 6
Cálculo das integrais (passo a passo, sem pular etapas):
Primeiro a integral à esquerda é direta:
Primeiro a integral à esquerda é direta:
Para a integral à direita, faça uma divisão algébrica simples:
porque
. Assim
Igualando as integrais:
Exponenciando e absorvendo constantes:
Chamando
a constante (pode ser positiva ou negativa, incorporando o sinal), obtemos a solução geral (não trivial):
E, lembrando, a solução trivial
também vale.
Passo 7
Resumo final e observações importantes para a prova:
- A equação é separável porque o lado direito fatorou como produto de uma função só de
e uma só de . - Sempre mencionar as restrições de domínio:
; e lembrar da solução constante que aparece ao dividir por . - Se pedirem, a solução geral (implícita) é
, ou explicitamente .
Resposta
Separável: sim.
,
.