Exercício 2. Determine quais das seguintes equações diferenciais são separáveis. Para as que forem separáveis, identifique as funções
e
tais que
.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O que se pede:
- Determinar se essa equação é separável.
- Se for separável, identificar funções
e tais que
Observação sobre domínio: a expressão
só está definida quando
(ou seja,
e
têm o mesmo sinal). Vou assumir esse domínio ao longo da análise.
Passo 2
O que significa “separável”? Uma equação do tipo primeira ordem é separável quando a derivada pode ser escrita como produto de uma função que depende só de
por uma função que depende só de
:
Exemplo simples e intuitivo:
é separável com
e
. A ideia prática é ver se dá para reescrever o lado direito como produto de uma função só de
por outra só de
.
Passo 3
Vamos manipular o lado direito usando propriedades dos logaritmos, lembrando do domínio
. Pela propriedade do logaritmo:
portanto a equação fica
Aqui o lado direito é soma de uma função de
com uma função de
, não um produto óbvio. Preciso agora mostrar se é (im)possível escrever
como produto
.
Passo 4
Argumento por contradição: suponha que existam funções
e
tais que, para todo
com
,
Escolha dois valores
(ambos positivos, por exemplo). Para qualquer
com
vale
Subtraindo as duas iguais:
O lado direito
é uma constante (independente de
). Para que o produto à esquerda seja independente de
para todo
, a função
deve ser constante. Ou seja, existe
tal que
para todo
no domínio. Se
, então a hipótese implica
ou seja, o lado esquerdo deveria depender apenas de
, o que é impossível porque
varia com
. Se
, então
para todo
, o que também é falso. Portanto chegamos a uma contradição em qualquer caso.
Passo 5
Conclusão do raciocínio: não existem funções
e
que façam
para todo
no domínio. Logo a equação
não é separável.
Resposta
A equação
não é separável.