Exercício 2. Determine quais das seguintes equações diferenciais são separáveis. Para as que forem separáveis, identifique as funções g(x) e h(y) tais que \frac{d y}{d x}=g(x) h(y).
\frac{d y}{d x}=\ln (x y).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\ln(xy).
O que se pede:
  • Determinar se essa equação é separável.
  • Se for separável, identificar funções \,g(x) e \,h(y) tais que
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y).
Observação sobre domínio: a expressão \ln(xy) só está definida quando \,xy>0 (ou seja, x e y têm o mesmo sinal). Vou assumir esse domínio ao longo da análise.

Passo 2

O que significa “separável”? Uma equação do tipo primeira ordem é separável quando a derivada pode ser escrita como produto de uma função que depende só de x por uma função que depende só de y:
\frac{dy}{dx}=G(x)\,H(y).
Exemplo simples e intuitivo: \dfrac{dy}{dx}=x\,y é separável com G(x)=x e H(y)=y. A ideia prática é ver se dá para reescrever o lado direito como produto de uma função só de x por outra só de y.

Passo 3

Vamos manipular o lado direito usando propriedades dos logaritmos, lembrando do domínio xy>0. Pela propriedade do logaritmo:
\ln(xy)=\ln x+\ln y,
portanto a equação fica
\frac{dy}{dx}=\ln x+\ln y.
Aqui o lado direito é soma de uma função de x com uma função de y, não um produto óbvio. Preciso agora mostrar se é (im)possível escrever \ln(xy) como produto g(x)h(y).

Passo 4

Argumento por contradição: suponha que existam funções g e h tais que, para todo x,y com xy>0,
\ln(xy)=g(x)\,h(y).
Escolha dois valores x_1\neq x_2 (ambos positivos, por exemplo). Para qualquer y com y>0 vale
g(x_1)h(y)=\ln(x_1y)=\ln x_1+\ln y,
g(x_2)h(y)=\ln(x_2y)=\ln x_2+\ln y.
Subtraindo as duas iguais:
\bigl(g(x_1)-g(x_2)\bigr)h(y)=\ln x_1-\ln x_2.
O lado direito \ln x_1-\ln x_2 é uma constante (independente de y). Para que o produto à esquerda seja independente de y para todo y, a função h(y) deve ser constante. Ou seja, existe C\in\mathbb{R} tal que h(y)=C para todo y no domínio. Se C\neq0, então a hipótese implica
\ln(xy)=g(x)\,C,
ou seja, o lado esquerdo deveria depender apenas de x, o que é impossível porque \ln(xy) varia com y. Se C=0, então \ln(xy)=0 para todo x,y, o que também é falso. Portanto chegamos a uma contradição em qualquer caso.

Passo 5

Conclusão do raciocínio: não existem funções g(x) e h(y) que façam \ln(xy)=g(x)h(y) para todo x,y no domínio. Logo a equação
\frac{dy}{dx}=\ln(xy)
não é separável.

Resposta

A equação \dfrac{dy}{dx}=\ln(xy) não é separável.

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