Exercício 2. Determine quais das seguintes equações diferenciais são separáveis. Para as que forem separáveis, identifique as funções g(x) e h(y) tais que \frac{d y}{d x}=g(x) h(y).
\frac{d y}{d x}=\frac{x y+2 y}{x-4}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a equação diferencial abaixo é separável e, se for, identificar funções g(x) e h(y) tais que
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y).
A equação dada é
\frac{dy}{dx}=\frac{x y+2 y}{x-4}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão do lado direito contém produtos e soma envolvendo x e y.
  • Deve ser verificado se a expressão pode ser escrita como produto de uma função só de x por outra só de y.
  • Há um ponto a observar no domínio: o denominador x-4 anula‑se quando x=4, então x=4 é uma singularidade óbvia.

Passo 2

O que significa “separável” (explicação didática): uma equação diferencial da forma \dfrac{dy}{dx}=G(x,y) é separável se for possível escrever G(x,y)=g(x)\,h(y) com g dependendo somente de x e h dependendo somente de y. Se for separável, o procedimento padrão na prova é:
  1. Reescrever \dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y).
  2. Isolar os termos em y de um lado e os termos em x do outro, ou seja escrever \dfrac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx.
  3. Integrar ambos os lados: \displaystyle\int \dfrac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx.
    Vou aplicar isso aqui.

Passo 3

Manipulação algébrica para testar separabilidade: fatorar y no numerador da fração do enunciado.
\frac{dy}{dx}=\frac{x y+2 y}{x-4}=\frac{y(x+2)}{x-4}.
Isso mostra o lado direito como produto de uma função que depende só de y e outra que depende só de x. Portanto a equação é separável.

Passo 4

Identificação explícita de g(x) e h(y): comparando com \dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y) obtemos
h(y)=y,\qquad g(x)=\frac{x+2}{x-4}.
Lembrete sobre domínio: esta identificação vale para pontos onde as expressões estão bem definidas, ou seja para x\neq 4. Além disso existe a solução constante y\equiv 0 (aquela que se perde se dividirmos por y), então sempre mencionar y=0 como solução trivial.

Passo 5

(Para você saber como usar isso numa prova) Como se procede depois que se identifica g e h: separar variáveis e integrar. A equação fica
\frac{1}{y}\,dy=\frac{x+2}{x-4}\,dx,\qquad y\neq 0,\\ x\neq 4.
Agora integramos ambos os lados.

Passo 6

Cálculo das integrais (passo a passo, sem pular etapas):
Primeiro a integral à esquerda é direta:
\int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|.
Para a integral à direita, faça uma divisão algébrica simples:
\frac{x+2}{x-4}=1+\frac{6}{x-4},
porque x+2=(x-4)+6. Assim
\int \frac{x+2}{x-4}\,dx=\int \left(1+\frac{6}{x-4}\right)dx = \int 1\,dx + 6\int\frac{1}{x-4}\,dx = x + 6\ln|x-4| + C.
Igualando as integrais:
\ln|y| = x + 6\ln|x-4| + C.
Exponenciando e absorvendo constantes:
|y| = e^{C} e^{x} |x-4|^{6}.
Chamando C' a constante (pode ser positiva ou negativa, incorporando o sinal), obtemos a solução geral (não trivial):
y = C' e^{x} (x-4)^{6},\qquad x\neq 4.
E, lembrando, a solução trivial y\equiv 0 também vale.

Passo 7

Resumo final e observações importantes para a prova:
  • A equação é separável porque o lado direito fatorou como produto de uma função só de x e uma só de y.
  • Sempre mencionar as restrições de domínio: x\neq 4; e lembrar da solução constante y=0 que aparece ao dividir por y.
  • Se pedirem, a solução geral (implícita) é \ln|y|=x+6\ln|x-4|+C, ou explicitamente y=C' e^{x}(x-4)^{6}.

Resposta

Separável: sim. g(x)=\dfrac{x+2}{x-4}, h(y)=y.

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