Exercício (1(1,0)) Determine quais dos seguintes números são primos:
a) 1181

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o número 1181 é primo. Informação dada: o inteiro positivo 1181. A pergunta única é: 1181 é primo ou composto?

Passo 2

Estratégia escolhida: teste por divisão (trial division). Vou explicar a ideia: se um inteiro n>1 não é primo então existe uma decomposição n=a\cdot b com 1<a\le b<n. Do fato a\le b segue a\le\sqrt{n}. Portanto, para provar que n é primo basta testar se ele tem algum divisor primo menor ou igual a \sqrt{n}. Se nenhum desses dividir n, então n é primo.

Passo 3

Calcular uma cota para \sqrt{1181} sem calculadora:
Verifica-se
\,34^2=1156\quad e\quad \,35^2=1225.
Logo \sqrt{1181} está entre 34 e 35. Assim basta testar divisibilidade por todos os números primos menores ou iguais a 34. Lista dos primos a testar:
\,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31.

Passo 4

Teste por 2: 1181 é ímpar (último dígito 1), então não é divisível por 2.
Teste por 3: regra dos dígitos — soma dos dígitos de 1181 é 1+1+8+1=11. Como 11 não é múltiplo de 3, 1181 não é divisível por 3.
Teste por 5: um número é divisível por 5 se termina em 0 ou 5. 1181 termina em 1, logo não é divisível por 5.

Passo 5

Teste por 7: faço a divisão inteira aproximada. Sabendo que 7\cdot168=1176 (pois 7\cdot160=1120 e 7\cdot8=56, somando dá 1176), então
1181-1176=5.
Como o resto é 5\ne0 e 7\cdot169=1183>1181, conclui-se que 1181 não é divisível por 7.

Passo 6

Teste por 11: método rápido (diferença das somas alternadas) ou divisão. Soma alternada dos dígitos é 1-1+8-1=7. Como 7 não é múltiplo de 11, 1181 não é divisível por 11. Conferindo por multiplicação, 11\cdot107=1177 e resto 1181-1177=4\ne0.

Passo 7

Teste por 13: 13\cdot90=1170, então
1181-1170=11,
resto 11\ne0. Portanto não é divisível por 13.

Passo 8

Teste por 17: 17\cdot69=17\cdot(70-1)=1190-17=1173. Então
1181-1173=8,
resto 8\ne0. Logo não é divisível por 17.

Passo 9

Teste por 19: 19\cdot60=1140 e 19\cdot2=38, então 19\cdot62=1140+38=1178. Assim
1181-1178=3,
resto 3\ne0. Não divisível por 19.

Passo 10

Teste por 23: 23\cdot50=1150 e 23\cdot1=23, então 23\cdot51=1150+23=1173. Assim
1181-1173=8,
resto 8\ne0. Não divisível por 23.

Passo 11

Teste por 29: 29\cdot40=1160. Então
1181-1160=21,
resto 21\ne0. (Observação: 29\cdot41=1189>1181.) Logo não é divisível por 29.

Passo 12

Teste por 31: 31\cdot38=31\cdot(40-2)=1240-62=1178. Então
1181-1178=3,
resto 3\ne0. Como 31 é o último primo \le\sqrt{1181}, já testamos todos os candidatos.

Passo 13

Conclusão: 1181 não tem nenhum divisor primo menor ou igual a \sqrt{1181}. Pelo argumento do Passo 2, isso implica que 1181 é primo. Força aí — deu trabalho, mas chegamos na conclusão!

Resposta

a) 1181 é primo.

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