Exercício (1(1,0)) Determine quais dos seguintes números são primos:
a) 1181
a) 1181
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o número
é primo. Informação dada: o inteiro positivo
. A pergunta única é:
é primo ou composto?
Passo 2
Estratégia escolhida: teste por divisão (trial division). Vou explicar a ideia: se um inteiro
não é primo então existe uma decomposição
com
. Do fato
segue
. Portanto, para provar que
é primo basta testar se ele tem algum divisor primo menor ou igual a
. Se nenhum desses dividir
, então
é primo.
Passo 3
Calcular uma cota para
sem calculadora:
Verifica-se
\quad e\quad
.
Logo está entre
e
. Assim basta testar divisibilidade por todos os números primos menores ou iguais a
. Lista dos primos a testar:
.
Verifica-se
Logo
Passo 4
Teste por
:
é ímpar (último dígito
), então não é divisível por
.
Teste por : regra dos dígitos — soma dos dígitos de
é
. Como
não é múltiplo de
,
não é divisível por
.
Teste por : um número é divisível por
se termina em
ou
.
termina em
, logo não é divisível por
.
Teste por
Teste por
Passo 5
Teste por
: faço a divisão inteira aproximada. Sabendo que
(pois
e
, somando dá
), então
Como o resto é
e
, conclui-se que
não é divisível por
.
Passo 6
Teste por
: método rápido (diferença das somas alternadas) ou divisão. Soma alternada dos dígitos é
. Como
não é múltiplo de
,
não é divisível por
. Conferindo por multiplicação,
e resto
.
Passo 7
Teste por
:
, então
resto
. Portanto não é divisível por
.
Passo 8
Teste por
:
. Então
resto
. Logo não é divisível por
.
Passo 9
Teste por
:
e
, então
. Assim
resto
. Não divisível por
.
Passo 10
Teste por
:
e
, então
. Assim
resto
. Não divisível por
.
Passo 11
Teste por
:
. Então
resto
. (Observação:
.) Logo não é divisível por
.
Passo 12
Teste por
:
. Então
resto
. Como
é o último primo
, já testamos todos os candidatos.
Passo 13
Conclusão:
não tem nenhum divisor primo menor ou igual a
. Pelo argumento do Passo 2, isso implica que
é primo. Força aí — deu trabalho, mas chegamos na conclusão!
Resposta
a)
é primo.